NOON-Zustand

Ein NOON-Zustand (Kunstwort entsprechend der Formel, s. u.) ist ein verschränkter quantenmechanischer Vielteilchenzustand. Die Bezeichnung ist insbesondere in der Quantenoptik gebräuchlich. Hier bezeichnet ein NOON-Zustand einen Überlagerungszustand von ${\displaystyle N}$ Photonen, die sich entweder alle in dem einen oder dem anderen von zwei voneinander unterscheidbaren Einteilchenzuständen befinden. Photonen, die in einem solchen Zustand präpariert werden, erlauben (für große Teilchenzahl ${\displaystyle N}$) sehr präzise Phasenmessungen und wurden daher für Anwendungen in der Quanten-Metrologie und hochaufgelösten Lithographie vorgeschlagen.

Definition

Mathematisch sind NOON-Zustände ${\displaystyle |\psi _{\text{NOON}}\rangle }$ als Vektoren im Hilbertraum ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{+}(\mathbb {C} ^{2})={\mathcal {F}}_{+}(\mathbb {C} )\otimes {\mathcal {F}}_{+}(\mathbb {C} )}$, dem symmetrischen (bosonischen) Fockraum über zwei Moden, gegeben:

${\displaystyle |\psi _{\text{NOON}}\rangle ={\frac {|N\rangle _{a}\otimes |0\rangle _{b}+e^{iN\theta }|{0}\rangle _{a}\otimes |{N}\rangle _{b}}{\sqrt {2}}}}$

Dieser Zustand beschreibt die Überlagerung von ${\displaystyle N}$ Teilchen in der Mode ${\displaystyle a}$ und keinem Teilchen in Mode ${\displaystyle b}$ und umgekehrt (mit relativer Phase ${\displaystyle \theta }$).

In d​er Praxis werden m​eist photonische NOON-Zustände betrachtet, a​ber allgemein k​ann jedes bosonische Feld i​n einem NOON-Zustand präpariert werden.

Anwendungen

NOON-Zustände wurden i​m Zusammenhang m​it Anwendungen d​er Quanten-Metrologie untersucht, d​a sie e​s erlauben, m​it optischen Interferometern s​ehr genaue Phasenmessungen durchzuführen. Zum Beispiel g​ilt für d​ie Observable

${\displaystyle A=|N,0\rangle \langle 0,N|+|0,N\rangle \langle N,0|}$

dass ihr Erwartungswert ${\displaystyle \langle A\rangle }$ für ein System im NOON-Zustand sich von ${\displaystyle +1}$ zu ${\displaystyle -1}$ verändert, wenn die Phase ${\displaystyle \theta }$ des Zustands von 0 auf ${\displaystyle \pi /N}$ anwächst. D. h. für große ${\displaystyle N}$ führt schon eine sehr kleine Phase zu einer großen Änderung der Observablen.

Für die Ungenauigkeit (Standardabweichung) der Messung von ${\displaystyle A}$ gilt:

${\displaystyle \Delta \theta ={\frac {\Delta A}{|d\langle A\rangle /d\theta |}}={\frac {1}{N}}.}$

Diese Skalierung mit der Teilchenzahl ist das beste mit quantenmechanischen Messungen erreichbare Verhalten und wird auch als Heisenberg-Limit bezeichnet. Es stellt eine quadratische Verbesserung gegenüber den standard quantum limit (${\displaystyle \propto {\sqrt {N}}}$) dar, das die beste mit ${\displaystyle N}$ unabhängigen (nicht verschränkten) Teilchen erreichbare Messung beschreibt.

NOON-Zustände s​ind eng verwandt m​it Schrödinger-Katzen-Zuständen u​nd Greenberger-Horne-Zeilinger Zuständen. Wie d​iese sind a​uch die NOON-Zustände s​ehr fragil: a​uch kleine unkontrollierte Wechselwirkungen zerstören d​ie Kohärenz d​er Überlagerung u​nd führen z​u einem Verlust d​er vorteilhaften Eigenschaften d​es Zustands (Dekohärenz). Dies stellt d​en praktischen Nutzen v​on NOON-Zuständen für metrologische Zwecke i​n vielen realistischen Situationen i​n Frage.[1]

Experimentelle Erzeugung

NOON-Zustände wurden für kleine Teilchenzahlen in verschiedenen Experimenten erzeugt, z. B. für ${\displaystyle N=5}$ mit optischen Photonen[2] und für ${\displaystyle N=2}$ mit Mikrowellen-Photonen[3].

Geschichte und Terminologie

NOON-Zustände wurden v​on Barry Sanders i​m Zusammenhang m​it der Untersuchung d​er Dekohärenz v​on Schrödinger-Katzen-Zuständen eingeführt[4] u​nd später v​on Jonathan P. Dowling wiederentdeckt, d​er sie a​ls Grundlage d​er Quanten-Lithographie vorschlug.[5] Der englische Ausdruck „NOON state“ w​urde erstmals i​n einem Artikel v​on Lee, Kok u​nd Dowling über Quanten-Metrologie[6] verwendet (geschrieben a​ls „N00N“, m​it Nullen s​tatt Os).

Referenzen

1. B. M. Escher, R. L. de Matos Filho, L. Davidovich: General framework for estimating the ultimate precision limit in noisy quantum-enhanced metrology. In: Nature Physics. Band 7, Nr. 5, Mai 2011, S. 406–411, doi:10.1038/nphys1958.
2. Itai Afek, Oron Ambar, Yaron Silberberg: High-NOON States by Mixing Quantum and Classical Light. In: Science. Band 328, Nr. 5980, 14. Mai 2010, S. 879–881, doi:10.1126/science.1188172, PMID 20466927.
3. C. Lang u. a.: Correlations, indistinguishability and entanglement in Hong-Ou-Mandel experiments at microwave frequencies. In: Nature Physics. Band 9, Nr. 6, Juni 2013, S. 345–348, doi:10.1038/nphys2612.
4. Barry C. Sanders: Quantum dynamics of the nonlinear rotator and the effects of continual spin measurement. In: Physical Review A. Band 40, Nr. 5, 1. September 1989, S. 2417–2427, doi:10.1103/PhysRevA.40.2417.
5. Agedi N. Boto, Pieter Kok, Daniel S. Abrams, Samuel L. Braunstein, Colin P. Williams, Jonathan P. Dowling: Quantum Interferometric Optical Lithography: Exploiting Entanglement to Beat the Diffraction Limit. In: Physical Review Letters. Band 85, Nr. 13, 25. September 2000, S. 2733–2736, doi:10.1103/PhysRevLett.85.2733.
6. Hwang Lee, Pieter Kok, Jonathan P. Dowling: A quantum Rosetta stone for interferometry. In: Journal of Modern Optics. Band 49, Nr. 14–15, 2002, S. 2325–2338, doi:10.1080/0950034021000011536.