Mostow-Starrheit

In der Mathematik besagt der Mostowsche Starrheitssatz (auch starker Starrheitssatz oder Mostow-Prasad-Starrheitssatz) im Wesentlichen, dass die Geometrie einer hyperbolischen Mannigfaltigkeit endlichen Volumens der Dimension größer 2 durch ihre Fundamentalgruppe bestimmt wird und mithin eindeutig ist. Der Satz wurde für geschlossene Mannigfaltigkeiten von George Mostow bewiesen[1], dann ausgedehnt auf Mannigfaltigkeiten endlichen Volumens von Albert Marden in Dimension 3[2] und von Gopal Prasad in Dimension ${\displaystyle \geq 3}$.[3] Gromow gab einen anderen Beweis mit Hilfe des simplizialen Volumens.[4] Auf André Weil[5] geht eine schwächere lokale Version zurück, nämlich dass kokompakte diskrete Gruppen von Isometrien des hyperbolischen Raumes der Dimension mindestens 3 keine nicht-trivialen Deformationen zulassen. Eine Verschärfung des Mostowschen Starrheitssatzes ist der von Margulis bewiesene Superstarrheitssatz.

Der Satz besagt, dass der Deformationsraum der (vollständigen) hyperbolischen Strukturen auf einer hyperbolischen n-Mannigfaltigkeit endlichen Volumens (${\displaystyle n>2}$) ein Punkt ist. Im Gegensatz dazu hat eine hyperbolische Fläche vom Geschlecht g einen 6g-6-dimensionalen Modulraum, der die Metriken konstanter Krümmung ${\displaystyle K=-1}$ (bis auf Diffeomorphismus) klassifiziert, siehe Teichmüller-Raum. In Dimension 3 gibt es einen "Flexibilitätssatz" von Thurston, den Satz über hyperbolische Dehn-Chirurgie: er erlaubt es hyperbolische Strukturen endlichen Volumens zu deformieren, wenn man Änderungen der Topologie der Mannigfaltigkeit zulässt. Es gibt auch eine umfangreiche Theorie der Deformationen hyperbolischer Strukturen auf hyperbolischen Mannigfaltigkeiten unendlichen Volumens.

Starrheitssatz

Der Satz k​ann in geometrischer o​der algebraischer Fassung formuliert werden.

Geometrische Formulierung

Seien ${\displaystyle M}$ und ${\displaystyle N}$ vollständige hyperbolische n-Mannigfaltigkeiten endlichen Volumens mit ${\displaystyle n>2}$. Wenn es einen Isomorphismus ${\displaystyle \pi _{1}M\rightarrow \pi _{1}N}$ gibt, dann wird er von einer eindeutigen Isometrie ${\displaystyle M\rightarrow N}$ induziert.

Hierbei bezeichnet ${\displaystyle \pi _{1}M}$ die Fundamentalgruppe der Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$.

Eine äquivalente Version besagt, dass jede Homotopieäquivalenz ${\displaystyle M\rightarrow N}$ homotop zu einer eindeutigen Isometrie ist.

Algebraische Formulierung

Eine äquivalente Fassung ist:

Seien ${\displaystyle \Gamma }$ and ${\displaystyle \Delta }$ diskrete Untergruppen der Isometriegruppe des hyperbolischen ${\displaystyle n}$-Raumes ${\displaystyle H^{n}}$ mit ${\displaystyle n>2}$, deren Quotienten ${\displaystyle H^{n}\backslash \Gamma }$ und ${\displaystyle H^{n}\backslash \Delta }$ endliches Volumen haben. Wenn ${\displaystyle \Gamma }$ and ${\displaystyle \Delta }$ als Gruppen isomorph sind, dann sind sie konjugierte Untergruppen des Isometriegruppe ${\displaystyle Isom(H^{n})}$.

Verallgemeinerung: Thurstons Starrheitssatz

Wenn ${\displaystyle M}$ und ${\displaystyle N}$ vollständige hyperbolische Mannigfaltigkeiten endlichen Volumens der Dimension ${\displaystyle >2}$ sind und für eine ganze Zahl ${\displaystyle d}$ die Beziehung

V${\displaystyle ol(M)=dVol(N)}$

gilt, dann ist jede Abbildung vom Abbildungsgrad ${\displaystyle d}$ homotop zu einer lokal-isometrischen ${\displaystyle d}$-fachen Überlagerung.

Insbesondere folgt aus ${\displaystyle Vol(M)=Vol(N)}$, dass jede Abbildung vom Abbildungsgrad 1 homotop zu einer Isometrie ist.

Anwendungen

Die Gruppe der Isometrien einer hyperbolischen ${\displaystyle n}$-Mannigfaltigkeit endlichen Volumens ${\displaystyle M}$ ist für ${\displaystyle n>2}$ stets endlich und isomorph zu ${\displaystyle Out(\pi _{1}M)}$.

Thurston benutzte Mostow-Starrheit, u​m die Eindeutigkeit d​er zu triangulierten planaren Graphen assoziierten Kreispackungen z​u zeigen.

Literatur

• Gromov, Michael: Hyperbolic manifolds (according to Thurston and Jørgensen). (PDF; 1,1 MB) Bourbaki Seminar, Vol. 1979/80, pp. 40–53, Lecture Notes in Math., 842, Springer, Berlin-New York, 1981.
• Mostow, G. D.: Strong rigidity of locally symmetric spaces. Annals of Mathematics Studies, No. 78. Princeton University Press, Princeton, N.J.; University of Tokyo Press, Tokyo, 1973.
• Spatzier, R. J.: Harmonic analysis in rigidity theory. (PDF; 412 kB) Ergodic theory and its connections with harmonic analysis (Alexandria, 1993), 153–205, London Math. Soc. Lecture Note Ser., 205, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1995.
• William Thurston, The geometry and topology of 3-manifolds, Princeton lecture notes (1978–1981). (Stellt beide Beweise dar: einen ähnlich Mostows ursprünglichem Beweis, einen anderen mit Hilfe von Gromows simplizialem Volumen.)

Weblinks

• Lücker: Approaches to Mostow rigidity in hyperbolic space
• Bourdon: Mostow type rigidity theorems

Einzelnachweise

1. G. D. Mostow, Quasi-conformal mappings in n-space and the rigidity of the hyperbolic space forms, Publ. Math. IHES 34 (1968) 53-104
2. Marden, Albert: The geometry of finitely generated kleinian groups. Ann. of Math. (2) 99 (1974), 383–462.
3. Prasad, Gopal: Strong rigidity of Q-rank 1 lattices. (PDF; 1,4 MB) Invent. Math. 21 (1973), 255–286.
4. Gromov, Michail: Volume and bounded cohomology. (PDF; 9,9 MB) Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. No. 56 (1982), 5–99
5. Weil, André: On discrete subgroups of Lie groups. I: Ann. of Math. (2) 72 1960 369–384 pdf; II: Ann. of Math. (2) 75 1962 578–602 pdf.