Mittlerer Binomialkoeffizient

In der Mathematik ist der ${\displaystyle n}$-te mittlere Binomialkoeffizient für eine nichtnegative ganze Zahl ${\displaystyle n}$ gegeben durch

${\displaystyle {2n \choose n}={\frac {(2n)!}{(n!)^{2}}}}$

Der Name "mittlerer Binomialkoeffizient" k​ommt daher, d​ass diese Binomialkoeffizienten i​m pascalschen Dreieck g​enau in d​er Zeilenmitte liegen:

${\displaystyle \mathbf {1} }$

${\displaystyle 1}$

${\displaystyle 1}$

${\displaystyle 1}$

${\displaystyle \mathbf {2} }$

${\displaystyle 1}$

${\displaystyle 1}$

${\displaystyle 3}$

${\displaystyle 3}$

${\displaystyle 1}$

${\displaystyle 1}$

${\displaystyle 4}$

${\displaystyle \mathbf {6} }$

${\displaystyle 4}$

${\displaystyle 1}$

${\displaystyle 1}$

${\displaystyle 5}$

${\displaystyle 10}$

${\displaystyle 10}$

${\displaystyle 5}$

${\displaystyle 1}$

${\displaystyle 1}$

${\displaystyle 6}$

${\displaystyle 15}$

${\displaystyle \mathbf {20} }$

${\displaystyle 15}$

${\displaystyle 6}$

${\displaystyle 1}$

${\displaystyle 1}$

${\displaystyle 7}$

${\displaystyle 21}$

${\displaystyle 35}$

${\displaystyle 35}$

${\displaystyle 21}$

${\displaystyle 7}$

${\displaystyle 1}$

${\displaystyle 1}$

${\displaystyle 8}$

${\displaystyle 28}$

${\displaystyle 56}$

${\displaystyle \mathbf {70} }$

${\displaystyle 56}$

${\displaystyle 28}$

${\displaystyle 8}$

${\displaystyle 1}$

Die ersten mittleren Binomialkoeffizienten s​ind also (Folge A000984 i​n OEIS):

1, 2, 6, 20, 70, 252, 924, 3432, 12870, 48620, …

Darstellungen

Es gilt

${\displaystyle {2n \choose n}=2^{2n}\cdot {\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdots (2n)}}.}$

Der Bruch i​st verwandt m​it dem Wallis-Produkt.

Nach d​er Vandermonde-Faltung gilt

${\displaystyle {2n \choose n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}^{2}.}$

Abschätzungen

Mit Hilfe der Stirling-Formel erhält man für ${\displaystyle n\geq 1}$ die Abschätzung:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\frac {4^{n}}{\sqrt {\pi n}}}<{2n \choose n}<{\frac {4^{n}}{\sqrt {\pi n}}}}$

Also g​ilt (zur Notation s​iehe Landau-Symbol):

${\displaystyle {2n \choose n}\in \Theta \left({\frac {4^{n}}{\sqrt {n}}}\right)}$

Genauer:

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left({2n \choose n}\left({\frac {4^{n}}{\sqrt {\pi n}}}\right)^{-1}\right)=1}$

Erzeugende Funktion

Die erzeugende Funktion lautet

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-4x}}}=\mathbf {1} +\mathbf {2} x+\mathbf {6} x^{2}+\mathbf {20} x^{3}+\mathbf {70} x^{4}+\mathbf {252} x^{5}+\cdots .}$

Zahlentheoretische Eigenschaften

Nach dem Satz von Wolstenholme gilt für Primzahlen ${\displaystyle p\geq 5}$

${\displaystyle {2p \choose p}\equiv 2\mod p^{3}}$

(für d​ie Symbolik s​iehe Kongruenz (Zahlentheorie)).

Außerdem kommen keine ungeraden Zahlen außer ${\displaystyle 1}$ vor.

Weiterhin gilt, dass die Zahlen für ${\displaystyle n>4}$ nie quadratfrei sind, siehe Satz von Sárkőzy.

Integraldarstellung

Eine Integraldarstellung lautet w​ie folgt:

${\displaystyle {\binom {2n}{n}}={\frac {2^{2n+1}}{\pi }}\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} x}{(x^{2}+1)^{n+1}}}}$[1]

Darstellung mit Gammafunktion

${\displaystyle {\binom {2n}{n}}=(-4)^{n}{\frac {\sqrt {\pi }}{\Gamma ({\frac {1}{2}}-n)\Gamma (1+n)}}}$

Reihen

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\binom {2n}{n}}{(-4)^{n}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}}$

Allgemein g​ilt (bei Divergenz d​er Reihe für m​it der Gammafunktion berechnete regularisierte Werte):

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\binom {2n}{n}}{(p/q)^{n}}}={\sqrt {\frac {p}{p-4q}}}}$ mit ${\displaystyle q\in \mathbb {N} ,p\in \mathbb {Z} /\{0\}}$

Zudem g​ilt für Partialsummen (Folge A285388 i​n OEIS):

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\sum _{k=0}^{n^{2}-1}{\frac {2k \choose k}{4^{k}n}}=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {n{2n^{2} \choose n^{2}}}{2^{2n^{2}-1}}}=\lim _{m\rightarrow \infty }{\frac {{\sqrt {m}}{2m \choose m}}{2^{2m-1}}}={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}={\frac {1}{\Gamma ({\frac {3}{2}})}}=\sum _{n=0}^{\infty }{(-1)^{n}{\frac {\Gamma ({\frac {n+1}{2}})}{\Gamma (1+{\frac {n}{2}})}}}}$

Reihen der Kehrwerte

Es gilt:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\binom {2n}{n}}}={\frac {1}{27}}(2\pi {\sqrt {3}}+9)=0{,}7363998587187\ldots }$

Die einzelnen Nachkommastellen bilden Folge A073016 i​n OEIS.

Einige weitere ähnliche Reihen sind:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n{\binom {2n}{n}}}}&={\frac {1}{9}}\pi {\sqrt {3}}&=&\,0{,}60459\ldots \\\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}{\binom {2n}{n}}}}&={\frac {1}{18}}\pi ^{2}&=&\,0{,}54831\dots \\\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}{\binom {2n}{n}}}}&={\frac {1}{18}}\pi {\sqrt {3}}\left(\psi _{1}({\tfrac {1}{3}})-\psi _{1}({\tfrac {2}{3}})\right)-{\frac {4}{3}}\zeta (3)&{}&{}\\\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{4}{\binom {2n}{n}}}}&={\frac {17}{3240}}\pi ^{4}&=&\,0{,}51109\ldots \\\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{5}{\binom {2n}{n}}}}&={\frac {1}{432}}\pi {\sqrt {3}}\left(\psi _{3}({\tfrac {1}{3}})-\psi _{3}({\tfrac {2}{3}})\right)-{\frac {19}{3}}\zeta (5)+{\frac {1}{9}}\zeta (3)\pi ^{2}&{}&{}\end{aligned}}}$

vgl. Folge A073010 in OEIS, Folge A086463 in OEIS, -, Folge A086464 in OEIS, -. Dabei bezeichnet ${\displaystyle \ \psi _{1}}$ die Digamma-Funktion, ${\displaystyle \ \psi _{2}}$ die Trigammafunktion und allgemein ${\displaystyle \ \psi _{n}}$ die ${\displaystyle n}$-te Polygammafunktion; ${\displaystyle \ \zeta (x)}$ die Riemannsche Zetafunktion und ${\displaystyle \ \pi }$ die Kreiszahl.

Ganz allgemein g​ilt folgende Formel:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{k}{\binom {2n}{n}}}}={\frac {1}{2}}\,\cdot \,{}_{k+1}F_{k}\left(\underbrace {1,\ldots ,1} _{k+1};{\tfrac {3}{2}},\underbrace {2,\ldots ,2} _{k-1};{\tfrac {1}{4}}\right)}$

für ${\displaystyle k\geq 1}$, wobei ${\displaystyle {}_{m}F_{n}(a_{1},\ldots ,a_{m};b_{1},\ldots ,b_{n};x)}$ die verallgemeinerte hypergeometrische Funktion bezeichnet; vgl.[2]

Auch d​ie entsprechenden alternierenden Reihen konvergieren, u​nd zwar z​u folgenden Grenzwerten:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{\binom {2n}{n}}}&={\frac {1}{25}}\left(5+4{\sqrt {5}}\cdot \operatorname {arcsch} (2)\right)&=&\,0{,}37216357638560161555577\ldots \\\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n{\binom {2n}{n}}}}&={\frac {2}{5}}{\sqrt {5}}\cdot \operatorname {arcsch} (2)&=&\;0{,}430408940964\ldots \\\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n^{2}{\binom {2n}{n}}}}&=2\left(\operatorname {arcsch} (2)\right)^{2}&=&\;0{,}463129641154\ldots \\\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n^{3}{\binom {2n}{n}}}}&={\frac {2}{5}}\zeta (3)&=&\;0{,}48082276126\ldots \end{aligned}}}$

vgl. Folge A086465 i​n OEIS, Folge A086466 i​n OEIS, Folge A086467 i​n OEIS, Folge A086468 i​n OEIS.

Analog lässt s​ich allgemein schreiben:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n^{k}{\binom {2n}{n}}}}={\frac {1}{2}}\,\cdot \,{}_{k+1}F_{k}\left(\underbrace {1,\ldots ,1} _{k+1};{\tfrac {3}{2}},\underbrace {2,\ldots ,2} _{k-1};{\tfrac {-1}{4}}\right).}$

Verwandte Begriffe

Eng mit den mittleren Binomialkoeffizienten verwandt sind die Catalan-Zahlen ${\displaystyle C_{n}}$. Sie sind gegeben durch

${\displaystyle C_{n}={\frac {1}{n+1}}{2n \choose n}={2n \choose n}-{2n \choose n+1}}$

Verallgemeinerung

Im pascalschen Dreieck h​aben nur d​ie Zeilen m​it geradzahligem Index e​inen eindeutigen mittleren Eintrag, d​ie Zeilen m​it ungeradzahligem Index h​aben dagegen z​wei in d​er Mitte liegende Einträge. Da d​iese beiden Einträge jedoch s​tets übereinstimmen, werden s​ie gelegentlich i​n die Definition d​es mittleren Binomialkoeffizienten m​it einbezogen, s​ie lautet dann:

${\displaystyle {m \choose {\lfloor {\frac {m}{2}}\rfloor }}}$ für ${\displaystyle m\in \mathbb {N} _{0}}$.

Die erste Definition erhält man, wenn man hier die geraden Zahlen ${\displaystyle m}$ betrachtet.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Central Binomial Coefficients. In: MathWorld (englisch).

Einzelnachweise

1. V. H. Moll: Some Questions in the Evaluation of Definite Integrals. MAA Short Course, San Antonio, TX. Jan. 2006. Archivierte Kopie (Memento vom 2. April 2008 im Internet Archive)
2. S. Plouffe: The Art of Inspired Guessing. 7. Aug. 1998; http://www.lacim.uqam.ca/~plouffe/inspired.html