Satz von Wolstenholme

Der Satz v​on Wolstenholme (nach Joseph Wolstenholme) i​st eine Aussage a​us dem mathematischen Teilgebiet d​er Zahlentheorie. Er lautet:

Ist ${\displaystyle p\geq 5}$ eine Primzahl, so hat die harmonische Zahl

${\displaystyle H(p-1)=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\ldots +{\frac {1}{p-1}}}$

einen durch ${\displaystyle p^{2}}$ teilbaren Zähler (in vollständig gekürzter und daher auch in jeder anderen Darstellung als Quotient zweier ganzer Zahlen).[1][2]

Beispiele, andere Formulierungen, Folgerungen

Zur Veranschaulichung einige Beispiele:

• ${\displaystyle p=7{\text{:}}\quad 1+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{6}}={\tfrac {49}{20}},}$ der Zähler ${\displaystyle 49=1\cdot 7^{2}}$ ist durch ${\displaystyle 7^{2}}$ teilbar.
• ${\displaystyle p=13{\text{:}}\quad 1+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{6}}+{\tfrac {1}{7}}+{\tfrac {1}{8}}+{\tfrac {1}{9}}+{\tfrac {1}{10}}+{\tfrac {1}{11}}+{\tfrac {1}{12}}={\tfrac {86021}{27720}},}$ der Zähler ${\displaystyle 86021=509\cdot 13^{2}}$ ist durch ${\displaystyle 13^{2}}$ teilbar.

Der Satz v​on Wolstenholme i​st äquivalent z​u der Aussage, d​ass der Zähler von

${\displaystyle 1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\ldots +{\frac {1}{(p-1)^{2}}}}$

durch ${\displaystyle p}$ teilbar ist.[3]

Eine Folgerung a​us dem Satz i​st die Kongruenz

${\displaystyle {\binom {2p}{p}}\equiv 2\mod {p^{3}},}$

die a​uch in d​er Form

${\displaystyle {\binom {2p-1}{p-1}}\equiv 1\mod {p^{3}}}$

geschrieben werden kann.

Wolstenholme-Primzahlen

Eine Wolstenholme-Primzahl p i​st eine Primzahl, d​ie eine stärkere Fassung d​es Satzes v​on Wolstenholme erfüllt, genauer: d​ie eine d​er folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt:[4]

• Der Zähler von

${\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\dots +{\frac {1}{p-1}}}$

ist durch ${\displaystyle p^{3}}$ teilbar.

• Der Zähler von

${\displaystyle 1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\dots +{\frac {1}{(p-1)^{2}}}}$

ist durch ${\displaystyle p^{2}}$ teilbar.

• Es gilt die Kongruenz

${\displaystyle {\binom {2p}{p}}\equiv 2\mod {p^{4}}.}$

• Es gilt die Kongruenz

${\displaystyle {\binom {2p-1}{p-1}}\equiv 1\mod {p^{4}}.}$

• Der Zähler der Bernoulli-Zahl ${\displaystyle B_{p-3}}$ ist durch ${\displaystyle p}$ teilbar.

Die beiden bisher einzigen bekannten Wolstenholme-Primzahlen sind 16843 (Selfridge und Pollack 1964)[5] und 2124679 (Buhler, Crandall, Ernvall und Metsänkylä 1993).[6] Jede weitere Wolstenholme-Primzahl müsste größer als 10⁹ sein.[7] Es wurde die Vermutung aufgestellt, dass unendlich viele Wolstenholme-Primzahlen existieren, und zwar etwa ${\displaystyle \log(\log(x))}$ unterhalb ${\displaystyle x}$ (McIntosh 1995).[8]

Verwandter Begriff

Betrachtet m​an nur Summanden m​it ungeradem Nenner, a​lso die Summe

${\displaystyle 1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+\dots +{\frac {1}{p-2}}}$

für eine Primzahl ${\displaystyle p\geq 3}$, so ist der Zähler genau dann durch ${\displaystyle p}$ teilbar, wenn die stärkere Form

${\displaystyle 2^{p-1}\equiv 1\mod {p^{2}}}$

des Satzes v​on Euler-Fermat gilt.[9] Derartige Primzahlen heißen Wieferich-Primzahlen.

Geschichte

Aus d​em Satz v​on Wilson f​olgt die Kongruenz

${\displaystyle {\binom {np-1}{p-1}}\equiv 1{\pmod {p}}}$

für jede Primzahl ${\displaystyle p}$ und jede natürliche Zahl ${\displaystyle n.}$

Charles Babbage bewies 1819[10] d​ie Kongruenz

${\displaystyle {\binom {2p-1}{p-1}}\equiv 1{\pmod {p^{2}}}}$

für jede Primzahl ${\displaystyle p>2.}$

Joseph Wolstenholme bewies 1862[1] d​ie Kongruenz

${\displaystyle {\binom {2p-1}{p-1}}\equiv 1{\pmod {p^{3}}}}$

für jede Primzahl ${\displaystyle p>3.}$

Literatur

• G. H. Hardy, E. M. Wright: An introduction to the theory of numbers. 6. Auflage. Oxford University Press, Oxford 2008, ISBN 978-0-19-921985-8 (englisch; revidiert von D. R. Heath-Brown und J. H. Silverman).

Weblinks

• The Prime Glossary: Wolstenholme prime (englisch)
• Eric W. Weisstein: Wolstenholme’s Theorem. In: MathWorld (englisch).

Einzelnachweise

1. J. Wolstenholme: On certain properties of prime numbers. In: The quarterly journal of pure and applied mathematics 5. 1862, S. 35–39 (englisch).
2. Hardy, Wright: An introduction to the theory of numbers. 2008, S. 112 (englisch; Theorem 115).
3. Hardy, Wright: An introduction to the theory of numbers. 2008, S. 114 (englisch; Theorem 117).
4. Anthony Gardiner: Four problems on prime power divisibility. In: The American Mathematical Monthly 95. Dezember 1988, S. 926–931 (englisch).
5. J. L. Selfridge, B. W. Pollack: Fermat’s last theorem is true for any exponent up to 25,000. In: Notices of the AMS 11. 1964, S. 97 (englisch; nur Zusammenfassung; 16843 nicht ausdrücklich angegeben).
6. J. Buhler, R. Crandall, R. Ernvall, T. Metsänkylä: Irregular primes and cyclotomic invariants to four million. In: Mathematics of Computation 61. Juli 1993, S. 151–153 (englisch).
7. Richard J. McIntosh, Eric L. Roettger: A search for Fibonacci-Wieferich and Wolstenholme primes. (PDF; 151 kB). In: Mathematics of Computation, 76, Oktober 2007, S. 2087–2094 (englisch).
8. Richard J. McIntosh: On the converse of Wolstenholme’s theorem. (PDF; 190 kB). In: Acta Arithmetica, 71, 1995, S. 381–389 (englisch).
9. Hardy, Wright: An introduction to the theory of numbers. 2008, S. 135 (englisch; Theorem 132).
10. Charles Babbage: Demonstration of a theorem relating to prime numbers. In: The Edinburgh philosophical journal 1. 1819, S. 46–49 (englisch; „n+1.n+2.n+3...“ bedeutet „(n+1)(n+2)(n+3)…“; die Umkehrung wird auch behauptet: „otherwise it is not“, aber nicht bewiesen und ist falsch für Quadrate von Wolstenholme-Primzahlen).