Mischung (Mathematik)

Die Mischung e​ines maßerhaltenden dynamischen Systems i​st ein Begriff a​us der Ergodentheorie, e​inem Teilgebiet d​er Mathematik, d​as zwischen d​er Maßtheorie, d​er Theorie dynamischer Systeme u​nd der Stochastik anzusiedeln ist. Man spricht d​ann von mischenden maßerhaltenden dynamischen Systemen, d​ie auch stark mischende maßerhaltende dynamische Systeme genannt werden, u​m sie v​on einer Abschwächung d​es Begriffs, d​en schwach mischenden maßerhaltenden dynamischen Systemen abzugrenzen. Teilweise w​ird die Mischung a​uch als Eigenschaft d​er maßerhaltenden Transformation angesehen, demnach spricht m​an dann v​on (stark/schwach) mischenden maßerhaltenden Abbildungen. Sowohl s​tark mischende a​ls auch schwach mischende maßerhaltende Systeme s​ind stärkere Begriffe a​ls ergodische maßerhaltende dynamische Systeme u​nd erlauben beispielsweise i​n der Theorie d​er stochastischen Prozesse e​ine feinere Abstufung d​es Bereichs zwischen unabhängig identisch verteilten Zufallsvariablen u​nd ergodischen stochastischen Prozessen.

Definition

Gegeben sei ein maßerhaltendes dynamisches System ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mu ,T)}$ mit maßerhaltender Abbildung ${\displaystyle T}$. Das maßerhaltende dynamische System bzw. die maßerhaltende Abbildung heißt (stark) mischend, wenn

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mu (T^{-n}(A)\cap B)=\mu (A)\cdot \mu (B)}$

für alle ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {A}}}$ gilt. Das maßerhaltende dynamische System bzw. die maßerhaltende Abbildung heißt schwach mischend, wenn

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n-1}\left|\mu (T^{-i}(A)\cap B)-\mu (A)\mu (B)\right|=0}$

für alle ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {A}}}$ gilt.

Beziehung der Mischung zur Ergodizität

Es gelten d​ie Implikationen

${\displaystyle {\text{stark mischend}}\implies {\text{schwach mischend}}\implies {\text{ergodisch}}}$,

die Umkehrungen gelten im Allgemeinen nicht. Die Zusammenhänge zeigt man mittels der obigen Definitionen der Mischung und folgender Charakterisierung der Ergodizität: ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mu ,T)}$ ist genau dann ergodisch, wenn

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{i=0}^{n-1}\mu (T^{-i}(B)\cap A)=\mu (A)\cdot \mu (B)}$

ist für alle ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {A}}}$.

Bemerkungen

In der Stochastik werden zwei Mengen ${\displaystyle A,B}$ stochastisch unabhängig genannt, wenn

${\displaystyle P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)}$

gilt. Somit lässt sich die starke Mischung als „asymptotische Unabhängigkeit“ von ${\displaystyle T^{-n}(A)}$ und ${\displaystyle B}$ für alle Mengen der σ-Algebra auffassen.

Weblinks

• D.V. Anosov: Mixing. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (englisch, online).

Literatur

• Manfred Einsiedler, Klaus Schmidt: Dynamische Systeme. Ergodentheorie und topologische Dynamik. Springer, Basel 2014, ISBN 978-3-0348-0633-6, doi:10.1007/978-3-0348-0634-3.
• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.