Algebraisches Element

Die Begriffe algebraisches u​nd transzendentes Element treten i​n der abstrakten Algebra a​uf und verallgemeinern d​as Konzept v​on algebraischen u​nd transzendenten Zahlen.

Definition

Sei ${\displaystyle L/K}$ eine Körpererweiterung, ${\displaystyle a\in L}$ ein Element. Dann heißt ${\displaystyle a}$ algebraisch über ${\displaystyle K}$, wenn es ein vom Nullpolynom verschiedenes Polynom mit Koeffizienten in ${\displaystyle K}$ gibt, das ${\displaystyle a}$ als Nullstelle hat.

Ein Element aus ${\displaystyle L}$, das nicht algebraisch über ${\displaystyle K}$ ist, heißt transzendent über ${\displaystyle K}$.[1]

Beispiele

• Eine komplexe Zahl ist genau dann eine algebraische Zahl, wenn sie ein algebraisches Element in der Körpererweiterung ${\displaystyle \mathbb {C} /\mathbb {Q} }$ ist.
• Die Quadratwurzel von 2 ist algebraisch über ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, denn sie ist eine Nullstelle des Polynoms ${\displaystyle X^{2}-2}$, dessen Koeffizienten rational sind.
• Die Kreiszahl ${\displaystyle \pi }$ und die Eulersche Zahl ${\displaystyle e}$ sind transzendent über ${\displaystyle \mathbb {Q} }$. Sie sind aber algebraisch über ${\displaystyle \mathbb {R} }$, weil sie als reelle Zahlen definiert sind. Allgemeiner gilt:
• Jedes Element ${\displaystyle a}$ des Körpers ${\displaystyle K}$ ist algebraisch über ${\displaystyle K}$, denn es ist Nullstelle des linearen Polynoms ${\displaystyle X-a}$.
• Jede komplexe Zahl, die sich durch rationale Zahlen, die Grundrechenarten (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division) sowie durch Wurzelziehen (mit natürlichen Wurzelexponenten) bilden lässt, ist algebraisch über ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.
• Aus der Galoistheorie folgt aber, dass es umgekehrt über ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ algebraische Zahlen gibt, die sich nicht auf diese Weise darstellen lassen; vergleiche hierzu den Satz von Abel-Ruffini.
• Über dem Körper ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ der p-adischen Zahlen ist ${\displaystyle e}$ (als Grenzwert der Reihe der reziproken Fakultäten) algebraisch, denn für ${\displaystyle p>2}$ ist ${\displaystyle e^{p}}$ und für ${\displaystyle p=2}$ ist ${\displaystyle e^{4}}$ in ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ enthalten.
• Bildet man zu einem beliebigen Körper ${\displaystyle K}$ den Körper der formalen Laurentreihen ${\displaystyle K((X))}$, so ist die formale Variable ${\displaystyle X}$ ein transzendentes Element dieser Erweiterung.

Eigenschaften

Die folgenden Bedingungen sind äquivalent für ein Element ${\displaystyle a}$ aus ${\displaystyle L}$ (einem Oberkörper von ${\displaystyle K}$):[2]

• ${\displaystyle a}$ ist algebraisch über ${\displaystyle K}$.
• Die Körpererweiterung ${\displaystyle K(a)/K}$ hat endlichen Grad, d. h., ${\displaystyle K(a)}$ ist als ${\displaystyle K}$-Vektorraum endlichdimensional.
• ${\displaystyle K(a)=K[a]}$

Dabei ist ${\displaystyle K[a]}$ die Ringadjunktion von ${\displaystyle a}$ an ${\displaystyle K}$, die aus allen Elementen von ${\displaystyle L}$ besteht, die sich als ${\displaystyle g(a)}$ mit einem Polynom ${\displaystyle g}$ über ${\displaystyle K}$ schreiben lassen. ${\displaystyle K(a)}$ ist dessen Quotientenkörper in ${\displaystyle L}$ und besteht aus allen Elementen von ${\displaystyle L}$, die sich als ${\displaystyle g(a)/h(a)}$ mit Polynomen ${\displaystyle g}$ und ${\displaystyle h}$ über ${\displaystyle K}$ (${\displaystyle h(a)}$ ungleich dem Nullpolynom) schreiben lassen.

Diese Charakterisierung kann genutzt werden, um zu zeigen, dass Summe, Differenz, Produkt und Quotient von über ${\displaystyle K}$ algebraischen Elementen wieder algebraisch über ${\displaystyle K}$ sind. Die Menge aller über ${\displaystyle K}$ algebraischen Elemente von ${\displaystyle L}$ bildet einen Zwischenkörper der Erweiterung ${\displaystyle L/K}$, den sogenannten algebraischen Abschluss in ${\displaystyle L}$. Dieser Begriff ist nicht zu verwechseln mit dem algebraischen Abschluss von ${\displaystyle K}$.

Minimalpolynom

→ Hauptartikel: Minimalpolynom

Ist ${\displaystyle a}$ algebraisch über ${\displaystyle K}$, dann gibt es genau ein normiertes Polynom aus ${\displaystyle K[X]}$ mit kleinstem Grad ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ und Nullstelle ${\displaystyle a}$, dieses heißt „das Minimalpolynom von ${\displaystyle a}$ über ${\displaystyle K}$“. Man bezeichnet ${\displaystyle a}$ auch als algebraisches Element vom Grad ${\displaystyle n}$ bezüglich ${\displaystyle K}$. ${\displaystyle K(a)}$ hat als Vektorraum über ${\displaystyle K}$ die Dimension ${\displaystyle n}$, eine mögliche Basis ist ${\displaystyle \{1,a,a^{2},\dotsc ,a^{n-1}\}}$. Also ist der Erweiterungsgrad von ${\displaystyle K(a)/K}$ ebenfalls gleich ${\displaystyle n}$.[3]

Beispiel

${\displaystyle a={\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}$ ist ein algebraisches Element vom Grad 4 über ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, denn aus

${\displaystyle a^{2}=5+2{\sqrt {6}}}$

${\displaystyle a^{3}=11{\sqrt {2}}+9{\sqrt {3}}}$

${\displaystyle a^{4}=49+20{\sqrt {6}}}$

ergibt s​ich das Minimalpolynom

${\displaystyle X^{4}-10X^{2}+1}$,

also ein Polynom 4. Grades. Damit ist ${\displaystyle \{1,a,a^{2},a^{3}\}}$ eine Basis von ${\displaystyle \mathbb {Q} \left({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}\right)}$ als Vektorraum über ${\displaystyle \mathbb {Q} }$. Eine andere mögliche Basis ist ${\displaystyle \{1,{\sqrt {2}},{\sqrt {3}},{\sqrt {6}}\}}$, d. h.,

${\displaystyle \mathbb {Q} \left({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}\right)=\{a+b{\sqrt {2}}+c{\sqrt {3}}+d{\sqrt {6}}\mid a,b,c,d\in \mathbb {Q} \}}$

und ${\displaystyle \mathbb {Q} \left({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}\right)/\mathbb {Q} }$ ist eine Körpererweiterung vom Grad 4.

Verallgemeinerung

In Ringerweiterungen k​ann der Begriff d​es ganzen Elementes definiert werden. Fasst m​an eine Körpererweiterung a​ls Ringerweiterung auf, s​o ist e​in Element d​ort genau d​ann ganz, w​enn es e​in algebraisches Element d​er Körpererweiterung ist.

Einzelnachweise

1. Kurt Meyberg: Algebra II. Carl Hanser Verlag (1976), ISBN 3-446-12172-2, Definition 6.2.10.
2. Kurt Meyberg: Algebra II. Carl Hanser Verlag (1976), ISBN 3-446-12172-2, Satz 6.3.3 und Satz 6.3.4.
3. Kurt Meyberg: Algebra II. Carl Hanser Verlag (1976), ISBN 3-446-12172-2, Kapitel 6.3.