Magisches Quadrat

Ein magisches Quadrat ist eine quadratische Anordnung von Zahlen oder Buchstaben, die bestimmte Forderungen erfüllt.

16	5	9	4
2	11	7	14
3	10	6	15
13	8	12	1

Yang-Hui-Quadrat

Definition

Die Definition eines normalen magischen Quadrates lautet:

„Ein magisches Quadrat der Kantenlänge $n$ ist eine quadratische Anordnung der natürlichen Zahlen $1,2,\dotsc ,n^{2}$ , sodass die Summe der Zahlen aller Zeilen, Spalten und der beiden Diagonalen gleich ist. Diese Summe wird als die magische Zahl des magischen Quadrates bezeichnet.“

Die Kantenlänge $n$ wird als Ordnung der magischen Quadrate verwendet.

Es ist auch erkennbar, dass jede arithmetische Folge für ein magisches Quadrat geeignet ist. Es gibt noch zahlreiche Varianten von magischen Quadraten, bei denen nicht alle diese Bedingungen erfüllt sind oder zusätzliche Einschränkungen gefordert sind (siehe unten).

Semimagisches Quadrat

Zahlenquadrate, bei denen nicht auch die beiden Diagonalen die magische Zahl oder die Zielsumme ergeben, gelten als misslungen und dissonant. Sie streben nach Auflösung des Widerspruches. Diese misslungenen Zahlenquadrate werden als semimagische Quadrate bezeichnet.

Semimagisches Quadrat 3. Ordnung mit der 7 im mittleren Feld und den Zahlen 1 bis 9.

9	2	4
5	7	3
1	6	8

Für die Auflösung des Widerspruches gibt es bei Quadraten der dritten Ordnung zwei Wege. Der erste Weg führt über die Anpassung des mittleren Elementes bei Beibehaltung der Zielsumme. Der zweite Weg ändert die Zielsumme bei unverändertem mittleren Element. Man kann immer reelle Lösungen mit Übereinstimmung von drei Elementen finden. Von Interesse sind daher Lösungen mit mehr als drei übereinstimmenden Elementen.

Die Berechnung der magischen Zahl

Die Reihensumme wird als magische Zahl bezeichnet. Es ist offensichtlich, dass die magische Zahl $1/n$ mal der Summe der Zahlen von 1 bis $n^{2}$ sein muss:

S_{n}={\frac {1}{n}}\cdot \sum _{x=1}^{n^{2}}x={\frac {1}{n}}\cdot {\frac {n^{2}(n^{2}+1)}{2}}={\frac {n(n^{2}+1)}{2}}={\frac {n^{3}+n}{2}}

Denn: Sei $ZS$ die Summe der Zahlen einer Zeile. Wir haben $n$ Zeilen, die alle die gleiche Zeilensumme haben sollen; und die Summe über alle Zeilen, also $n\cdot ZS$ , ist gleich der Summe aller Einträge des Quadrats, also identisch mit $\textstyle \sum _{k=1}^{n^{2}}k={\frac {n^{2}\cdot (n^{2}+1)}{2}}$ (Gaußsche Summenformel).

Die ersten magischen Zahlen beginnend mit $n=0$ sind

0, 1, 5, 15, 34, 65, 111, 175, 260, 369, 505, … (Folge A006003 in OEIS).

Darin sind die ersten drei Glieder theoretisch. Ein magisches Quadrat der Kantenlänge 1 ist trivial. Für die Kantenlänge 2 gibt es keine Lösung.

Äquivalenz und Standardform

Es ist offensichtlich, dass durch Rotation um 90°, 180° und 270° sowie durch Spiegelung an den Hauptachsen und Diagonalen aus einem magischen Quadrat wieder ein magisches Quadrat entsteht. Diese acht magischen Quadrate sind äquivalent; es genügt, eines davon zu untersuchen. Es hat sich eingebürgert, hier die Frénicle-Standardform zu verwenden:

Das Element in der linken oberen Ecke [1,1] ist das kleinste der vier Elemente in den Ecken.
Das Element rechts daneben [1,2] ist kleiner als das Element darunter [2,1].

Komplement des normalen magischen Quadrates

Zu jedem normalen magischen Quadrat kann ein Komplement gebildet werden. Für die Bildung des komplementären Quadrates sind alle Einträge mit −1 zu multiplizieren und anschließend zu jedem Eintrag die Konstante $n^{2}+1$ zu addieren. Die Elemente im Ausgangsquadrat und im Komplement ergänzen sich damit zu $n^{2}+1$ . Das komplementäre Quadrat hat dieselbe Struktur wie das Ausgangsquadrat. Die Komplementbildung ist keine Tauschoperation, da sie nicht unabhängig von der Struktur des Ausgangsquadrates ist. Magische Quadrate mit bestimmten Strukturen können selbstkomplementär sein, d. h., das Komplement ist dann äquivalent zum Ausgangsquadrat. Von den 12 Strukturen der Ordnung 4 sind die magischen Quadrate der 3. und 6. Struktur selbstkomplementär.

Vergleich von magischen Quadraten

Der exakte Vergleich erfolgt durch Einordnung der magischen Quadrate in die Lösungsmenge des homogenen linearen Gleichungssystems. Das entspricht der Einordnung in den nichtgeometrischen Vektorraum. Jedes magische Quadrat hat seinen genau bestimmbaren Platz in der Lösungsmenge. Die Lösungsmenge ist ein vorzügliches Beispiel für einen nichtgeometrischen Vektorraum. Bei magischen Quadraten höherer Ordnung kommt die Methode der Einordnung an Grenzen der Vorstellungskraft. Für magische Quadrate 3. und 4. Ordnung ist sie jedoch didaktisch sehr interessant. Bei höherer Ordnung muss man auf Strukturanalyse und die Methode der Korrelation zurückgreifen.

Struktur magischer Quadrate

Alle magischen Quadrate besitzen eine innere Struktur. Diese Strukturen sind je nach Ordnung des Quadrates verschieden und werden mit steigender Ordnung immer komplexer. Für normale magische Quadrate 4. Ordnung sind genau 12 Strukturgruppen mit identischer Paarsumme existent. Nach ihrem Entdecker Henry Dudeney werden diese auch Dudeney-Muster[1] genannt. Die Bilder der Strukturen[2] können zur Analyse der Symmetrieeigenschaften der magischen Quadrate verwendet werden.

Spezielle magische Quadrate

Allgemeine reelle Zahlenquadrate

Allgemeine reelle Zahlenquadrate bestehen aus reellen Zahlen. Ihre einzige Bedingung ist, dass Zeilen, Spalten und Diagonalen dieselbe Summe $s$ ergeben. Die Summe $s$ ist frei wählbar. Allgemeine reelle Zahlenquadrate sind Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems. Das Gleichungssystem hat $2n+2$ lineare Gleichungen.

Beispiel eines Ergebnisses der Lösungsmenge dritter Ordnung und $s=1,5$ :

−0,5	2	0
1	0,5	0
1	−1	1,5

Eine herausragende Eigenschaft allgemeiner reeller Zahlenquadrate dritter Ordnung ist, dass das mittlere Zahlenelement immer das arithmetische Mittel aller Zahlen des Quadrates enthält. Das mittlere Zahlenelement ist daher nicht nur vom räumlichen Begriff her der Mittelwert, sondern auch gleichzeitig vom numerischen Begriff.[3]

Legt man als weitere Bedingung fest, dass das Zahlenquadrat dritter Ordnung nur aus natürlichen Zahlen besteht, so erhält man für jeden Mittelwert eine endliche Lösungsmenge. Die Zielsumme $s$ ist der dreifache Mittelwert. Der Mittelwert ist somit frei unter den natürlichen Zahlen wählbar, die Zielsumme nicht. Für Quadrate dritter Ordnung und $s=27$ gibt es 25 Lösungen (15 mit und 10 ohne Wiederholung von Zahlen).

14	7	6
1	9	17
12	11	4

Die Zielsumme $s$ ist eine Variable der Lösungsmenge des homogenen linearen Gleichungssystems. Man kann daher für die Zielsumme $s$ auch die errechnete magische Zahl einsetzen. Bei der magischen Zahl 15 erhält man so 9 Lösungen (8 mit und 1 ohne Wiederholung von Zahlen). Das ist das Lo-Shu und sein Hofstaat.

Symmetrische magische Quadrate

Erfüllt ein magisches Quadrat zusätzlich die Bedingung, dass die Summen zweier Elemente, die punktsymmetrisch zum Mittelpunkt (bei geraden) oder zum zentralen Element (bei ungeraden magischen Quadraten) liegen, gleich sind, so wird es symmetrisches magisches Quadrat genannt. Es ist genauer die Bezeichnung zentralsymmetrisches magisches Quadrat oder assoziatives magisches Quadrat zu verwenden. Wie man leicht zeigen kann, muss die Summe zweier solcher Elemente $n^{2}+1$ betragen; bei ungeraden symmetrischen magischen Quadraten hat das Mittelfeld den Wert $(n^{2}+1)/2$ . Symmetrische magische Quadrate haben die einfachste innere Struktur der magischen Quadrate. Das magische Quadrat 3 mal 3 ist ein symmetrisches magisches Quadrat. Bei den magischen Quadraten 4 mal 4 ist nur eine der 12 Strukturgruppen (Gruppe 3) die Gruppe der symmetrischen magischen Quadrate. Sie ist in den Strukturbildern die sternförmige Darstellung.

Bei symmetrischen magischen Quadraten kann das Komplement des Ausgangsquadrates durch Rotation um 180° immer auf das Ausgangsquadrat abgebildet werden, d. h., alle symmetrischen magischen Quadrate sind selbstkomplementär (selbstähnlich).

Pandiagonale magische Quadrate

Beispiel eines pandiagonalen magischen Quadrats

Bei einem pandiagonalen magischen Quadrat muss nicht nur die Summe der Diagonalen, sondern auch die der gebrochenen Diagonalen gleich sein. Die gebrochenen Diagonalen verlaufen parallel zur Haupt- bzw. Gegendiagonale, wobei Elemente außerhalb des Quadrats um eine Kantenlänge verschoben werden. Im Gegensatz zu symmetrischen magischen Quadraten ist bei Quadraten mit pandiagonaler Eigenschaft diese besondere Eigenschaft nicht immer unmittelbar aus dem Bild der inneren Struktur ablesbar. Die kleinstmögliche Ordnung für Quadrate mit pandiagonaler Eigenschaft ist die 4. Ordnung. Die Strukturgruppe 1 der Quadrate 4. Ordnung besteht aus den 48 pandiagonalen Quadraten. Bei magischen Quadraten höherer Ordnung gibt es mehrere Strukturgruppen die aus Quadraten mit pandiagonaler Eigenschaft bestehen oder solche enthalten. Die magischen Quadrate der symmetrischen Strukturgruppe der 5. Ordnung haben nur teilweise die pandiagonale Eigenschaft. Die symmetrische Strukturgruppe ist eine Hauptstrukturgruppe. Bei Hauptstrukturgruppen steht der Mittelwert im Mittelfeld des Quadrates. Bei 5 mal 5 ist das der Wert 13. Diese Festlegung sichert die unverzerrte Darstellung der inneren Struktur. Jedes ungerade pandiagonale Quadrat kann durch Verschieben im Verschiebungscluster in ein Quadrat dieser Struktur gebracht werden. Es gibt bei der 5. Ordnung noch drei weitere Hauptstrukturgruppen die aus pandiagonalen Quadraten bestehen. Diese unverzerrten Strukturen sind ästhetisch reizvoll und zeigen den mathematischen Zusammenhang zwischen Mittelwertsbildung und Symmetrie. Durch Verschieben im Verschiebungscluster werden zu jeder Hauptstrukturgruppe die Nebenstrukturgruppen gebildet.

Magische Quadrate, die sowohl symmetrisch als auch pandiagonal sind, nennt man ultramagisch.

Magische Primzahlquadrate

Es gibt zahlreiche Varianten von magischen Quadraten, bei denen die Forderung fallengelassen wird, dass nur die Zahlen von 1 bis $n^{2}$ vorkommen sollen, dafür aber zusätzliche Bedingungen erfüllt sein müssen. Die bekanntesten davon sind magische Primzahlenquadrate, bei denen sämtliche Elemente Primzahlen (oder 1) sein müssen.

Das magische Primzahlenquadrat 3. Ordnung mit der kleinstmöglichen magischen Summe von 111 wurde im Jahr 1900 von Henry Ernest Dudeney entdeckt, der die 1 als Primzahl ansah.[4][5] Es galt seinerzeit als das erste magische Primzahlenquadrat in der Lösungsmenge allgemeiner magischer Quadrate 3. Ordnung.[6][5]

67	1	43
13	37	61
31	73	7

Das erste echte magische Primzahlenquadrat 3. Ordnung hat die kleinstmögliche magische Summe von 177.[5]

17	89	71
113	59	5
47	29	101

Für den Mittelwert 127 gibt es erstmals zwei verschiedene[5] magische Primzahlenquadrate in der Lösungsmenge allgemeiner magischer Quadrate 3. Ordnung.

Die Anzahl normaler magischer Quadrate

Es gibt ein (triviales) magisches Quadrat mit Kantenlänge 1, jedoch keines mit Kantenlänge 2. Abgesehen von Symmetrieoperationen oder angegeben in der Frénicle-Standardform, gibt es auch nur ein einziges normales magisches Quadrat mit Kantenlänge 3 (siehe unter Lo-Shu). Alle 880 magischen Quadrate mit Kantenlänge 4 wurden bereits 1693 von Frénicle de Bessy gefunden. Mit Kantenlänge 5 gibt es 275.305.224 magische Quadrate; darüber hinaus sind keine genauen Zahlen bekannt, es gibt jedoch bis etwa $n=20$ relativ verlässliche Abschätzungen. Die weitestreichenden Berechnungen wurden von Walter Trump durchgeführt.[7] Auch die Anzahl symmetrischer, pandiagonaler und ultramagischer Quadrate für kleinere $n$ ist bekannt, beispielsweise gibt es 48 symmetrische magische Quadrate mit Kantenlänge 4 und 16 ultramagische Quadrate mit Kantenlänge 5.

Berühmte Beispiele

Das Lo-Shu

Ein Beispiel ist das älteste bekannte magische Quadrat aus China ca. 2800 v. Chr. In Europa wurde es im 16./17. Jahrhundert Saturn-Siegel (Heinrich Cornelius Agrippa von Nettesheim, ca. 1510 und Athanasius Kircher, Arithmologia 1665) genannt.

4	9	2
3	5	7
8	1	6

Das Lo-Shu ist das einzige normale magische Quadrat der Größe 3 mal 3.

Das magische Quadrat von Albrecht Dürer

Detail aus Melencolia I

Eines der berühmtesten magischen Quadrate ist in Albrecht Dürers Kupferstich Melencolia I zu finden.

16	3	2	13
5	10	11	8
9	6	7	12
4	15	14	1

Eigenschaften

Das Dürer-Quadrat hat folgende Eigenschaften:

Es ist ein symmetrisches magisches Quadrat.

Normale Symmetrieeigenschaften magischer Quadrate 4 mal 4:

Die Summe der Zahlen in senkrechten oder waagerechten Reihen ergibt immer 34.
Die Summe der beiden mittleren Diagonalen ist jeweils 34.
Die Summe der vier Eckfelder und der vier Zentrumsfelder ist jeweils 34.
Die Summe der vier einander gegenüberliegenden mittigen Randfelder ist jeweils 34 ( $5+9+8+12$ und $3+2+15+14$ ).

Zusätzliche Symmetrieeigenschaften des Dürer-Quadrates:

Die Summe der beiden in der Mitte gebrochenen Diagonalen ist jeweils 34 ( $3+5+12+14$ und $2+8+9+15$ ).
Die Summe der Elemente der vier Quadranten ist jeweils 34.
Die Summe der vier Felder, die jeweils von den vier Eckfeldern um 1 oder um 2 im Uhrzeigersinn weiterversetzten Felder ist jeweils 34 ( $8+14+9+3$ und $12+15+5+2$ ).
Die Summe der die ersten beiden Zahlen einer Zeile (also z. B. der ersten) und der letzten beiden der gespiegelten (also z. B. der letzten) Zeile (z. B. $16+3+14+1$ ) ergibt 34. Dies gilt entsprechend auch für Spalten (z. B. $3+10+7+14$ ).
Die Zahlen der beiden mittleren Zeilen oder Spalten in Zickzack-Reihenfolge ergeben 34 (z. B. $3+11+6+14$ oder $9+10+7+8$ ). Das gleiche gilt auch für die beiden äußeren Zeilen oder Spalten (z. B. $16+8+9+1$ ).
Die Summe jedes zum Mittelpunkt punktsymmetrischen Zahlenpaares ist 17. Das entspricht dem dritten Dudeney-Muster.

Durch die zusätzlichen Symmetrieeigenschaften des Dürer-Quadrates können mittels Tauschoperationen Zwillingsquadrate erzeugt werden. Der Tausch der Spalte 2 mit Spalte 3 erzeugt das Quadrat:

16	2	3	13
5	11	10	8
9	7	6	12
4	14	15	1

Dieses Zwillingsquadrat hat identische Symmetrieeigenschaften. Es entspricht dem Quadrat von Yang Hui. Auch Adam Ries verwendete dieses Quadrat in seinem Rechenbuch. Es ist am Beginn des Artikels gespiegelt an der Hauptdiagonale dargestellt.

Eine weitere Tauschoperation ist der Tausch der Spalten 1 mit 2 und gleichzeitig (16er-Tausch) der Spalten 3 mit 4. Eine 8er-Tauschoperation ist der Tausch von zwei diagonalen Quadranten (4er-Blöcke), z. B. von Quadrant 1 mit Quadrant 3. Es gibt 12 Möglichkeiten für eine 8er-Tauschoperation. Ebenso ist der Tausch der vier Quadranten zu vier Zeilen ein 8er-Tausch. Dabei werden die Eckenfelder zur Hauptdiagonale und die Felder des Kernblocks zur Gegendiagonale. Das neue magische Quadrat hat dabei keine Übereinstimmung der Zusammensetzung der Summen (Zeilen, Spalten, Diagonalen) mit dem Ausgangsquadrat mehr. Die Tauschoperation Quadranten zu Zeilen bildet die Grundlage für den Beweis, dass die Summe der Elemente im jeweiligen Quadrant beim zentralsymmetrischen Quadrat 4 mal 4 ebenfalls die magische Zahl 34 ist.

Diese Tauschoperationen sind nur bei zentralsymmetrischen magischen Quadraten 4 mal 4 möglich. Die mit ihnen erzeugten neuen magischen Quadrate können weiterhin mit den Tauschoperationen bearbeitet werden. Durch die Verkettung der genannten Tauschoperationen können alle 48 zentralsymmetrischen magischen Quadrate (4 × 4) erzeugt werden. Die Verkettung lässt sich mittels Zustandsübergangsdiagramm darstellen.

Deutungen

In der Mitte der letzten Zeile erscheint die Jahreszahl 1514, das Jahr, in dem Dürer den Stich anfertigte.
Am Anfang der letzten Zeile steht eine 4, am Ende eine 1. Setzt man diese Ziffern mit Buchstaben des Alphabets gleich, erhält man D und A, das Monogramm des Künstlers (Dürer Albrecht)

Die magischen Quadrate des 16. und 17. Jahrhunderts in Europa

Im 16./17. Jahrhundert setzte eine intensive Beschäftigung mit magischen Quadraten ein. Die Universalgelehrten Heinrich Cornelius Agrippa von Nettesheim und Athanasius Kircher entwickelten mehrere magische Quadrate höherer (bis 9 mal 9) Ordnung. Es wurden auch Algorithmen für Erstellung gerader und ungerader magische Quadrate in den Werken angegeben. Auf Agrippa geht die Zuordnung von bestimmten magischen Quadraten zu Gestirnen zurück. Das Jupiter-Quadrat des Agrippa ist identisch mit dem 4 mal 4 Quadrat des Yang Hui. Die magischen Quadrate mit der Bezeichnung/ Zuordnung zu Gestirnen fanden auf vielen Amuletten Verwendung.

Das magische Quadrat an der Sagrada Família

Das magische Quadrat auf der Passionsfassade der Sagrada Família

Die der Passion gewidmete Fassade der Sagrada Família in Barcelona, ein Werk des Bildhauers Josep Maria Subirachs, enthält ein magisches Quadrat:

1	14	14	4
11	7	6	9
8	10	10	5
13	2	3	15

Es ist kein magisches Quadrat im engeren Sinne, weil nicht alle Zahlen von 1 bis 16 vorkommen (es fehlen 12 und 16), 10 und 14 kommen hingegen doppelt vor. Die magische Zahl ist 33, eine Anspielung auf das Lebensalter Christi. Das Zahlenquadrat an der Sagrada Família kann durch Subtraktion von 1 bei 4 Elementen aus dem Dürer-Quadrat erzeugt werden. Es stimmen daher die Werte von 12 Elementen mit dem Dürer-Quadrat überein. Die 4 veränderten Elemente wurden so gewählt, dass alle Zeilen, Spalten, Diagonalen und Blöcke/ Quadranten jeweils einmal erreicht werden.

Elemente im Dürer-Quadrat, von deren Wert jeweils 1 subtrahiert wird:

e [1, 1] = 16
e [2, 3] = 11
e [3, 4] = 12
e [4, 2] = 15

Danach ist noch eine Rotation um 180° vorzunehmen. Die Subtraktion bei den 4 Elementen bewirkt eine Strukturänderung. Das Quadrat an der Sagrada Família ist nicht zentralsymmetrisch. Es hat eine bipolare Struktur, d. h., die Summe der gegenüberliegenden Elemente beträgt 16 oder 17.

Goethes Hexeneinmaleins

Es gibt viele Interpretationen des Hexeneinmaleins aus Goethes Faust. Neben der Annahme, dass es sich schlicht um Unsinn handelt, wurde es auch als Konstruktionsanleitung für ein magisches Quadrat gedeutet – eine Deutung, die nicht hundertprozentig überzeugt.

Konstruktion magischer Quadrate

Konstruktion eines magischen Quadrats

Zur Konstruktion magischer Quadrate gibt es verschiedene Verfahren, die von der Kantenlänge abhängen. Das einfachste Verfahren, genannt siamesische Methode oder De-la-Loubère-Methode, funktioniert für alle magischen Quadrate mit ungerader Kantenlänge (also 3×3, 5×5, 7×7 etc.). Man fängt oben in der Mitte mit 1 an und füllt dann die anderen Zahlen der Reihe nach gemäß der folgenden Regel in die anderen Felder ein:

Wenn die zuletzt geschriebene Zahl kein Vielfaches von n ist, dann trage die nächste Zahl in das Feld oben rechts vom zuletzt ausgefüllten Feld. Ist die zuletzt geschriebene Zahl ein Vielfaches von n, dann trage die nächste Zahl in das Feld unter der zuletzt geschriebenen Zahl. Verlässt man nach diesen Regeln das Quadrat nach oben, so schreibe die nächste Zahl ganz unten in die Spalte, die rechts der Spalte liegt, in die die letzte Zahl geschrieben wurde. Wird das Quadrat nach rechts verlassen, schreibe die nächste Zahl ganz links in die Zeile, die über der Zeile der zuletzt geschriebenen Zahl liegt.

Hierbei wird das magische Quadrat als periodisch wiederholt angesehen, d. h., wenn man über den oberen Rand hinausgeht (das passiert schon beim ersten Schritt), kommt man von unten wieder hinein, und wenn man rechts hinausgeht, dann kommt man von links wieder hinein. Hier ein nach dieser Regel konstruiertes 7×7-Quadrat:

30	39	48	1	10	19	28
38	47	7	9	18	27	29
46	6	8	17	26	35	37
5	14	16	25	34	36	45
13	15	24	33	42	44	4
21	23	32	41	43	3	12
22	31	40	49	2	11	20

Aufbauend auf der siamesischen Methode können mit Hilfe der LUX-Methode von John Horton Conway weitere magische Quadrate mit doppelter Ordnung erzeugt werden.

Zwei weitere Verfahren sind für Quadrate mit gerader Kantenlänge, wobei das eine für alle Quadrate ist, deren Kantenlänge durch 4 teilbar ist, das andere für die, bei denen der Rest 2 beim Teilen durch 4 bleibt.

Ein spielerisches Verfahren zur Konstruktion magischer Quadrate gerader Ordnungen größer als 4 geht mit Hilfe von Medjig-Lösungen. Hierzu braucht man die Spielteile des Medjig-Puzzles.[8] Das sind in vier Quadranten verteilte Quadrate, worauf mit Punkten die Zahlen 0, 1, 2 und 3 in verschiedenen Anordnungen angegeben sind. Das Puzzle hat 18 Teile, alle Anordnungen gibt es dreimal. Siehe Abbildung unten. Das Ziel des Puzzles ist willkürlich 9 Quadrate der Versammlung zu entnehmen und diese Teilversammlung in ein 3×3-Quadrat zu legen, so dass in jeder entstandenen Zeile, Spalte und Diagonale die Summe von 9 (Punkten) ergibt.

Die Konstruktion eines magischen Quadrates der Ordnung 6 mit Hilfe des Medjig-Puzzles geht wie folgt: Mache eine 3×3-Medjig-Lösung, dazu kann man diesmal unbeschränkt aus der Totalversammlung wählen. Dann nimmt man das bekannte klassische magische Quadrat der Ordnung 3, und verteile alle Felder davon in vier Quadranten. Als Nächstes fülle man die Quadranten mit der ursprünglichen Zahl und den drei abgeleiteten modulo-9-Zahlen bis 36, der Medjig-Lösung folgend. Das ursprüngliche Feld mit der Zahl 8 wird also verteilt in vier Feldern mit den Zahlen $8\ (=8+0\cdot 9)$ , $17\ (=8+1\cdot 9)$ , $26\ (=8+2\cdot 9)$ und $35\ (=8+3\cdot 9)$ , das Feld mit der Zahl 3 wird 3, 12, 21 und 30 usw.; siehe untenstehendes Beispiel.

8	8	3	3	4	4
8	8	3	3	4	4
1	1	5	5	9	9
1	1	5	5	9	9
6	6	7	7	2	2
6	6	7	7	2	2

+ 9 *

=

26	35	3	21	4	22
17	8	30	12	31	13
28	10	14	23	27	9
1	19	5	32	36	18
33	24	25	7	2	20
6	15	34	16	11	29

Auf gleiche Weise kann man magische Quadrate der Ordnung 8 erzeugen. Man erzeuge dazu erst eine 4×4-Medjig-Lösung (Summe der Punkte jeder Reihe, Spalte, Diagonale 12), und vergrößere danach z. B. das oben abgebildete 4×4-Quadrat von Dürer modulo 16 bis 64. Im Allgemeinen braucht man für die Konstruktion magischer Quadrate der Ordnung größer als 9 auf diese Weise mehrere Sätze Medjig-Teile. Für die Ordnung 12 kann man eine 3×3-Medjig-Lösung horizontal und vertikal verdoppeln, und danach das oben konstruierte 6×6-Quadrat modulo 36 ausbreiten nach 144. Ähnlich geht es mit Ordnung 16.

Magische Quadrate der Größe 4×4 mit der magischen Zahl $S$ kann man anhand des folgenden Schemas konstruieren, wobei die Variablen $a$ und $b$ für beliebige ganze Zahlen stehen:

Allgemeines Schema
a+b	a	12a	7a
11a	8a	b	2a
5a	10a	3a	3a+b
4a	2a+b	6a	9a

S=34; a=1, b=13
14	1	12	7
11	8	13	2
5	10	3	16
4	15	6	9

S=88; a=3, b=25
28	3	36	21
33	24	25	6
15	30	9	34
12	31	18	27

Die magische Zahl $S$ beträgt jeweils $21a+b$ . Soll $S$ z. B. den Wert 88 betragen, zieht man ein ganzzahliges $(=a)$ Vielfaches von 21 ab, der Rest ist dann die Zahl $b$ . Zum Beispiel (wie im rechten Quadrat gezeigt): $88-3\cdot 21=25$ .

Magische Quadrate dieser Art bestehen im Allgemeinen nicht aus den Zahlen 1, 2, 3, …, 16, und bei ungünstiger Wahl der Werte $a$ und $b$ können zwei Felder die gleiche Zahl enthalten. Die magische Zahl $21a+b$ ist dafür nicht nur in den Zeilen, Spalten und Diagonalen enthalten, sondern auch in den vier Quadranten, in den vier Eckfeldern sowie im kleinen Quadrat der vier innen liegenden Felder.

Sonstiges

Die magischen 4×4-Quadrate, bei denen auch die Quadranten die magische Summe ergeben, können – wenn man auf die Eigenschaft, dass jede der Zahlen von 1 bis 16 genau einmal vorkommen soll, verzichtet – als Linearkombination der folgenden acht erzeugenden, zueinander kongruenten Quadrate dargestellt werden:

Quadrat A
0	0	1	0
0	1	0	0
0	0	0	1
1	0	0	0

Quadrat B
0	1	0	0
0	0	0	1
0	0	1	0
1	0	0	0

Quadrat C
0	0	0	1
0	1	0	0
1	0	0	0
0	0	1	0

Quadrat D
0	1	0	0
0	0	1	0
1	0	0	0
0	0	0	1

Quadrat E
0	0	0	1
1	0	0	0
0	0	1	0
0	1	0	0

Quadrat F
0	0	1	0
1	0	0	0
0	1	0	0
0	0	0	1

Quadrat G
1	0	0	0
0	0	1	0
0	0	0	1
0	1	0	0

Quadrat H
1	0	0	0
0	0	0	1
0	1	0	0
0	0	1	0

Man beachte, dass diese acht erzeugenden Quadrate nicht linear unabhängig sind, denn

{A}+{D}+{E}+{H}={B}+{C}+{F}+{G},

d. h., es gibt eine nichttriviale Linearkombination (eine Linearkombination, deren Koeffizienten nicht alle = 0 sind), die das 0-Quadrat ergibt. Anders ausgedrückt: Jedes der acht erzeugenden Quadrate lässt sich als Linearkombination der übrigen sieben darstellen. Sieben erzeugende Quadrate sind aber nötig, um alle magischen 4×4-Quadrate mit der Zusatzeigenschaft „Quadranten“ zu erzeugen; der Vektorraum der magischen 4×4-Quadrate, die von diesen Quadraten erzeugt wird, ist in diesem Sinn 7-dimensional. Bemerkenswert ist, dass in allen acht erzeugenden Quadraten A–H wie in Albrecht Dürers magischem Quadrat nicht nur Zeilen, Spalten und Diagonalen immer dieselbe Summe liefern (1), sondern auch jeder der vier „Quadranten“, die vier Zentrumsfelder und die vier Eckfelder. Das heißt, dass alle magischen Quadrate, die wir als Linearkombinationen dieser Erzeugenden gewinnen, diese Eigenschaft haben. Die Kongruenz der erzeugenden Quadrate ermöglicht z. B., aus A durch Drehung F, E und G zu erzeugen und daraus D, B, H und C durch Spiegelung.

Das magische Quadrat aus dem Kupferstich Melencolia I Albrecht Dürers als Linearkombination der erzeugenden Quadrate A–G:

X=-4\cdot {A}+8\cdot {B}+14\cdot {C}-5\cdot {D}-1\cdot {E}+6\cdot {F}+16\cdot {G}

Die Summe der Koeffizienten ist natürlich $34=-4+8+14-5-1+6+16$ .

Dass die 4 Quadranten auch die magische Summe ergeben, muss nicht unbedingt so sein. Folgendes magische Quadrat hat diese Eigenschaft nicht und ist daher linear unabhängig zu den Quadraten A–H:

1	2	15	16
13	14	3	4
12	7	10	5
8	11	6	9

Nimmt man dieses Quadrat noch zu 7 der Quadrate A–H, so erhält man eine Basis für den 8-dimensionalen Vektorraum aller magischen 4×4-Quadrate. Die Summe der Ecken und der vier Zentrumsfelder ist auch bei diesem Quadrat (wie bei allen magischen 4×4-Quadraten) die magische Summe.

Buchstabenquadrate

Ein magisches Buchstabenquadrat ist eine Denksportaufgabe, wobei in den Zeilen und Spalten des Quadrats jeweils gleiche Wörter entstehen. Ein Beispiel hierfür ist das Sator-Quadrat:

S	A	T	O	R
A	R	E	P	O
T	E	N	E	T
O	P	E	R	A
R	O	T	A	S

Zahlenrätsel

Ein Zahlenrätsel kann dadurch erzeugt werden, dass von einem magischen Quadrat Zahlen weggenommen werden. Die Aufgabe des Rätsellösers ist es, die fehlenden Zahlen wieder einzusetzen. Eine Variante, die 2015 als Wettbewerb in der Zeitschrift Thaynger Anzeiger veröffentlicht wurde und seit 2016 in den Schaffhauser Nachrichten publiziert wird, nennt sich Mazarä.

Weiterführende Themen

Magischer Würfel, eine dreidimensionale Erweiterung magischer Quadrate
Magisches Sechseck, eine Anordnung von Zahlen in Wabenform
Vollkommen perfektes magisches Quadrat, magische Quadrate mit zusätzlichen Eigenschaften der Unterquadrate
Magisches Klangquadrat
Magischer Graph

Ergänzende Literatur

Jacques Sesiano: Herstellungsverfahren magischer Quadrate aus islamischer Zeit. I–III. In: Sudhoffs Archiv. Band 64, 1980, Heft 2, S. 187–196; Band 65, 1981, Heft 3, S. 251–256; Band 71, 1987, Heft 2, S. 78–89; Band 79, 1995, Heft 2, S. 192–226.
Siegmund Günther: Vermischte Untersuchungen zur Geschichte der mathematischen Wissenschaften. Verlag Teubner Leipzig, 1876, Kap. IV, Historische Studien über magische Quadrate
Wolfgang Göbels: Varianten des magischen Quadrats von Albrecht Dürer. In: Praxis der Mathematik (PM) 4/35. Jg. 1993, Aulis Verlag

Weblinks

Commons: Magisches Quadrat – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Ausführliche Artikel über magische Quadrate
Seite des Künstlers Paul Heimbach, Köln
- Geschichtliches
[https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Wikipedia:Defekte_Weblinks&dwl=http://www.heim2.tu-clausthal.de/~kermit/faust-duerer.shtml Seite nicht mehr abrufbar], Suche in Webarchiven: @1@2[http://timetravel.mementoweb.org/list/2010/http://www.heim2.tu-clausthal.de/~kermit/faust-duerer.shtml Dürers magisches Quadrat und seine Bedeutung in Thomas Manns Doctor Faustus]
Christoph Pöppe: Edle magische Quadrate. Manche magischen Quadrate haben eine innere Struktur, die es erlaubt, aus einem einzelnen magischen Quadrat viele andere zu machen. In: Spektrum der Wissenschaft 1. 1996, S. 14, abgerufen am 28. Februar 2012.
Betrachtung Magischer Quadrate mit Ausführungen über die Summenkombinationen im Magischen Quadrat von Albrecht Duerer

Einzelnachweise

Holger Danielsson: Magische Quadrate, Seite 77 ff.
Magische Quadrate. Bei: mathe-online.at. (PDF; 207 kB).
Hans-Wolfgang Henn, Andreas Filler: Didaktik der Analytischen Geometrie und Linearen Algebra, Springer Spektrum, Seite 129–134
Eric W. Weisstein: Prime Magic Square. In: MathWorld (englisch).
Korrespondenzzirkel MATHEMATIK – LSGM, Heft 06/2003, PDF. S. 4.
Martin Gardner: Mathematisches Labyrinth: Neue Probleme für die Knobelgemeinde. Vieweg Verlag, Braunschweig/Wiesbaden 1979, ISBN 978-3-528-08402-8, S. 87, doi:10.1007/978-3-322-83962-6_9.
Enumeration of magic squares. Bei: trump.de.
Philos-Spiele, Art-Nr. 6343.

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[1] Holger Danielsson: Magische Quadrate, Seite 77 ff.

[2] Magische Quadrate. Bei: mathe-online.at. (PDF; 207 kB).

[3] Hans-Wolfgang Henn, Andreas Filler: Didaktik der Analytischen Geometrie und Linearen Algebra, Springer Spektrum, Seite 129–134

[4] Eric W. Weisstein: Prime Magic Square. In: MathWorld (englisch).

[KM-5] Korrespondenzzirkel MATHEMATIK – LSGM, Heft 06/2003, PDF. S. 4.

[6] Martin Gardner: Mathematisches Labyrinth: Neue Probleme für die Knobelgemeinde. Vieweg Verlag, Braunschweig/Wiesbaden 1979, ISBN 978-3-528-08402-8, S. 87, doi:10.1007/978-3-322-83962-6_9.

[7] Enumeration of magic squares. Bei: trump.de.

[8] Philos-Spiele, Art-Nr. 6343.