Lokal (Topologie)

Man sagt in der mathematischen Topologie, eine Eigenschaft topologischer Räume gelte lokal für einen topologischen Raum ${\displaystyle T}$, wenn für jede Wahl eines Punktes ${\displaystyle x}$ in ${\displaystyle T}$ eine Umgebungsbasis von ${\displaystyle x}$ existiert, deren Elemente die Eigenschaft haben.

Eine Eigenschaft topologischer Räume heißt lokal, w​enn sie m​it der zugehörigen lokalen Eigenschaft übereinstimmt.

Beispiele

Lokale Eigenschaften:

• Stetigkeit

Oft i​st die lokale Eigenschaft schwächer a​ls die ursprüngliche:

• lokal zusammenziehbar ist schwächer als zusammenziehbar
• lokalkompakt ist schwächer als kompakt
• lokal Hausdorffsche Räume sind nicht notwendig Hausdorffsch

Manchmal i​st die lokale Eigenschaft stärker a​ls die ursprüngliche:

• lokal einfachzusammenhängend ist stärker als semilokal einfachzusammenhängend

Im Allgemeinen i​st die lokale Eigenschaft w​eder stärker n​och schwächer:

• Der Kamm ist wegzusammenhängend, aber nicht lokal wegzusammenhängend, der diskret topologisierte zweielementige Raum ist lokal wegzusammenhängend, aber nicht wegzusammenhängend.
• Ein System von Teilmengen eines topologischen Raums heißt lokal endlich, falls jeder Punkt eine Umgebung hat, die nur endlich viele der Teilmengen berührt.
• Ein topologischer Raum ist lokal metrisierbar, falls jeder Punkt eine metrisierbare Umgebung besitzt.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Local. In: MathWorld (englisch).