Logarithmische Gammaverteilung

Die Logarithmische Gammaverteilung (auch Log-Gammaverteilung) i​st eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung. Die Heavy-tailed-Verteilung i​st geeignet z​ur Modellierung v​on Schadensdaten i​m extremen Großschadenbereich d​er Industrie-, Haftpflicht-, Rückversicherung[1].

Definition

Eine stetige Zufallsgröße ${\displaystyle X}$ mit den Parametern ${\displaystyle a>0}$ und ${\displaystyle b>0}$ genügt der logarithmischen Gammaverteilung, wenn sie die Wahrscheinlichkeitsdichte

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\dfrac {b^{a}}{\Gamma (a)}}x^{-(b+1)}(\ln x)^{a-1}&x\geq 1\\0&x<1\end{cases}}}$

besitzt. Ihre Verteilungsfunktion lautet dann

${\displaystyle F(x)={\begin{cases}{\dfrac {\gamma (a,b\ln x)}{\Gamma (a)}}&x\geq 1\\0&x<1\end{cases}}}$,

wobei ${\displaystyle \gamma (p,q)}$ die unvollständige Gammafunktion ist.

Eigenschaften

Erwartungswert

Für ${\displaystyle b>1}$ ergibt sich der Erwartungswert zu

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\left(1-{\frac {1}{b}}\right)^{-a}}$.

Varianz

Die Varianz ergibt sich für ${\displaystyle b>2}$ als

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\left(1-{\frac {2}{b}}\right)^{-a}-\left(1-{\frac {1}{b}}\right)^{-2a}}$.

Variationskoeffizient

Aus Erwartungswert u​nd Varianz erhält m​an sofort d​en Variationskoeffizienten

${\displaystyle \operatorname {VarK} (X)={\sqrt {\left(1+{\frac {1}{b(b-2)}}\right)^{a}-1}}}$.

Schiefe

Die Schiefe lässt sich für ${\displaystyle b>3}$ geschlossen darstellen als

${\displaystyle \operatorname {v} (X)={\frac {\left({\frac {b}{b-3}}\right)^{a}-3\left({\frac {b^{2}}{(b-2)(b-1)}}\right)^{a}+2\left({\frac {b}{b-1}}\right)^{3a}}{\left(\left({\frac {b}{b-2}}\right)^{a}-\left({\frac {b}{b-1}}\right)^{2a}\right)^{\frac {3}{2}}}}}$.

Momente

Es existieren nur die Momente der Ordnung kleiner als ${\displaystyle b}$.

Produkte von logarithmisch Gamma-verteilte Zufallsvariablen

Sind ${\displaystyle X_{1}\sim {\mathcal {LG}}(p_{1},b)}$ und ${\displaystyle X_{2}\sim {\mathcal {LG}}(p_{2},b)}$ unabhängige logarithmisch gammaverteilte Zufallsgrößen dann ist auch das ${\displaystyle X_{1}\cdot X_{2}}$ logarithmisch gammaverteilt, und zwar

${\displaystyle X_{1}\cdot X_{2}\sim {\mathcal {LG}}(p_{1}+p_{2},b).}$

Allgemein gilt: Sind ${\displaystyle X_{i}\sim {\mathcal {LG}}(p_{i},b)\quad i=1,\ldots ,n}$ stochastisch unabhängig dann ist

${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}X_{i}\sim {\mathcal {LG}}(p_{1}+\dotsb +p_{n},b).}$

Somit bildet d​ie logarithmische Gammaverteilung e​ine multiplikative Faltungshalbgruppe i​n einem i​hrer beiden Parameter.

Beziehung zu anderen Verteilungen

In der Versicherungsmathematik wird die Verteilung der Anzahl der Schäden häufig mit Hilfe von Poisson-, negativ Binomial- oder logarithmisch verteilten Zufallsvariablen modelliert. Zur Beschreibung der Schadenshöhe eignen sich dagegen die Gamma-, logarithmische Gamma- oder logarithmische Normalverteilung.

Beziehung zur Gammaverteilung

Wenn die Zufallsvariable ${\displaystyle X}$ Gamma-verteilt ist, dann ist ${\displaystyle Y=e^{X}}$ Log-Gamma-verteilt.

Beziehung zur Paretoverteilung

Die Paretoverteilung mit den Parametern ${\displaystyle k}$ und ${\displaystyle x_{\mathrm {min} }=1}$ entspricht der Log-Gammaverteilung mit den Parametern ${\displaystyle a=1}$ und ${\displaystyle b=k}$.

Einzelnachweise

1. Claudia Cottin, Sebastian Döhler: Risikoanalyse: Modellierung, Beurteilung und Management von Risiken mit Praxisbeispielen. Springer-Verlag 2012