Lineare Differenzengleichung

Lineare Differenzengleichungen (auch lineare Rekursionsgleichungen, selten C-Rekursionen o​der lineare Rekurrenz v​on engl. linear recurrence relation) s​ind Beziehungen e​iner besonders einfachen Form zwischen d​en Gliedern e​iner Folge.

Beispiel

Ein bekanntes Beispiel einer Folge, die einer linearen Differenzengleichung genügt, ist die Fibonacci-Folge. Mit der linearen Differenzengleichung

${\displaystyle f_{n}=f_{n-1}+f_{n-2}}$

und den Anfangswerten ${\displaystyle f_{0}=0}$ und ${\displaystyle f_{1}=1}$ ergibt sich die Folge

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …

Jedes Folgenglied (abgesehen v​on den beiden Anfangswerten) i​st also d​ie Summe d​er beiden vorherigen.

Allgemein n​ennt man j​ede Gleichung d​er Form

${\displaystyle f_{n}=a_{1}f_{n-1}+a_{2}f_{n-2},\quad a_{2}\neq 0}$

eine (homogene) lineare Differenzengleichung 2. Ordnung (mit konstanten Koeffizienten). Die Koeffizienten ${\displaystyle a_{1}}$ und ${\displaystyle a_{2}}$ definieren dabei die Differenzengleichung. Eine Folge ${\displaystyle F=f_{0},f_{1},f_{2},\dots }$ die für alle ${\displaystyle f_{i},i>1}$ die Gleichung erfüllt, heißt Lösung der Differenzengleichung. Diese Lösungen sind durch die zwei Anfangswerte eindeutig definiert.

Die Fibonacci-Folge ist also eine Lösung der Differenzengleichung, die durch ${\displaystyle a_{1}=a_{2}=1}$ definiert ist. Die Folge ist durch die Anfangswerte ${\displaystyle f_{0}=0}$ und ${\displaystyle f_{1}=1}$ eindeutig bestimmt.

Allgemeine Theorie

Eine lineare Differenzengleichung ${\displaystyle k}$-ter Ordnung über einem Körper ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ist von der Form

${\displaystyle \sum _{i=0}^{k}a_{i}(n)f_{n-i}=b(n),}$

wobei ${\displaystyle a_{i}(n)\in \mathbb {K} ,a_{k}(n)\neq 0,n\in \mathbb {N} ,n\geq k}$. Die lineare Differenzengleichung wird dabei von den Koeffizienten ${\displaystyle a_{0}(n),a_{1}(n),\dots ,a_{k}(n)}$ und der Funktion ${\displaystyle b(n)}$ definiert. Eine Zahlenfolge ${\displaystyle F=f_{0},f_{1},f_{2},\dots }$, die für alle ${\displaystyle n\geq k}$ die Gleichung erfüllt, heißt Lösung der Differenzengleichung. Diese unendliche Folge ist durch ihre ${\displaystyle k}$ Anfangswerte ${\displaystyle f_{0},f_{1},\dots ,f_{k-1}}$ eindeutig bestimmt. Ist ${\displaystyle b(n)=0}$ für alle ${\displaystyle n}$, so heißt die Gleichung homogen, ansonsten heißt sie inhomogen. Die Zahlenfolge ${\displaystyle f_{n}=0}$ für alle ${\displaystyle n}$ erfüllt alle homogenen Gleichungen und heißt deshalb triviale Lösung.

Ohne Beschränkung der Allgemeinheit kann ${\displaystyle a_{0}=-1}$ angenommen werden. Damit erhält man eine alternative Darstellung, die die Berechnungsvorschrift für ${\displaystyle f_{n}}$ aus den ${\displaystyle k}$ vorhergehenden Werten anschaulicher verdeutlicht:

${\displaystyle f_{n}=a_{1}(n)f_{n-1}+a_{2}(n)f_{n-2}+\dots +a_{k}(n)f_{n-k}-b(n)=\sum _{i=1}^{k}a_{i}(n)f_{n-i}-b(n),}$

wobei ${\displaystyle a_{i}(n)\in \mathbb {K} ,a_{k}(n)\neq 0,n\in \mathbb {N} ,n\geq k}$.

Rechenregeln

• Sind ${\displaystyle F}$ und ${\displaystyle G}$ Lösungen der homogenen linearen Differenzengleichung ${\displaystyle \textstyle \sum _{i=0}^{k}a_{i}(n)f_{n-i}=0}$, dann ist auch ${\displaystyle \alpha F+\beta G}$ für beliebige ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {R} }$ eine Lösung.
• Sind ${\displaystyle F}$ und ${\displaystyle G}$ Lösungen der inhomogenen linearen Differenzengleichung ${\displaystyle \textstyle \sum _{i=0}^{k}a_{i}(n)f_{n-i}=b(n)}$, dann ist ${\displaystyle F-G}$ eine Lösung der zugehörigen homogenen linearen Differenzengleichung mit ${\displaystyle b(n)=0}$ für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$.
• Ist ${\displaystyle F}$ eine Lösung der inhomogenen linearen Differenzengleichung ${\displaystyle \textstyle \sum _{i=0}^{k}a_{i}(n)f_{n-i}=b(n)}$ und ${\displaystyle G}$ eine Lösung der zugehörigen homogenen linearen Differenzengleichung mit ${\displaystyle b(n)=0}$ für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, dann ist auch ${\displaystyle F+\alpha G}$ für beliebige ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$ eine Lösung der inhomogenen linearen Differenzengleichung.

Lösungstheorie homogener linearer Differenzengleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten

Die erste Idee zur Lösung besteht in der Beobachtung, dass derartige Folgen meist exponentiell wachsen. Das legt den ersten Ansatz ${\displaystyle f_{n}=\lambda ^{n}}$ mit einem von Null verschiedenen Lambda nahe. Eingesetzt ergibt das

${\displaystyle \lambda ^{n}=a_{1}\lambda ^{n-1}+a_{2}\lambda ^{n-2},}$

nach Division durch ${\displaystyle \lambda ^{n-2}}$ also

${\displaystyle \lambda ^{2}-a_{1}\lambda -a_{2}=0.}$

Diese quadratische Gleichung heißt charakteristische Gleichung der Rekursion. Folgen der Form ${\displaystyle f_{n}=\lambda ^{n}}$ mit einem ${\displaystyle \lambda }$, das (reelle oder komplexe) Lösung der charakteristischen Gleichung ist, erfüllen also die gewünschte Rekursionsgleichung.

Die zweite Idee ist die der Superposition: Sind ${\displaystyle F}$ und ${\displaystyle G}$ Folgen, die die Rekursionsgleichung erfüllen, so gilt das auch für die Folge ${\displaystyle H}$ mit

${\displaystyle h_{n}=c_{1}f_{n}+c_{2}g_{n}}$

für beliebige (reelle oder komplexe) Zahlen ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$. Man kann das auch so ausdrücken: Die Menge aller Folgen, die die Rekursionsgleichung erfüllen, bildet einen Vektorraum.

Sind jetzt Anfangswerte ${\displaystyle f_{0},f_{1}}$ gegeben, und hat die charakteristische Gleichung zwei verschiedene Lösungen ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}}$, so können die Koeffizienten ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$ aus dem folgenden linearen Gleichungssystem bestimmt werden:

${\displaystyle f_{0}=c_{1}\lambda _{1}^{0}+c_{2}\lambda _{2}^{0}=c_{1}+c_{2}}$

${\displaystyle f_{1}=c_{1}\lambda _{1}^{1}+c_{2}\lambda _{2}^{1}=c_{1}\lambda _{1}+c_{2}\lambda _{2}}$

Dann gilt ${\displaystyle f_{n}=c_{1}\lambda _{1}^{n}+c_{2}\lambda _{2}^{n}}$ für alle ${\displaystyle n}$.

Im Beispiel d​er Fibonacci-Folge sind

${\displaystyle \lambda _{1/2}={\frac {1\pm {\sqrt {5}}}{2}},\quad c_{1}={\frac {1}{\sqrt {5}}}=-c_{2},}$

es ergibt s​ich also d​ie sogenannte Binet-Formel

${\displaystyle f_{n}={\frac {1}{\sqrt {5}}}(\lambda _{1}^{n}-\lambda _{2}^{n}).}$

Sonderfall: Die charakteristische Gleichung hat eine doppelte Lösung

Hat die charakteristische Gleichung nur eine Lösung, das heißt eine doppelte Nullstelle ${\displaystyle \lambda }$, so hat die allgemeine Lösung die Form

${\displaystyle f_{n}=c_{1}\lambda ^{n}+c_{2}n\lambda ^{n-1}.}$

Beispielsweise erfüllt ${\displaystyle f_{n}=n}$ (also ${\displaystyle c_{1}=0,c_{2}=1,\lambda =1}$) die Rekursionsgleichung

${\displaystyle f_{n}=2f_{n-1}-f_{n-2}.}$

Lösung linearer Differenzengleichungen mit konstanten Koeffizienten

Eine lineare Differenzengleichung m​it konstanten Koeffizienten h​at die Form

${\displaystyle \sum _{i=0}^{k}a_{i}f_{n-i}=b(n),}$

wobei alle ${\displaystyle a_{i}}$ konstant sind.

Lösung der homogenen Gleichung

Mit dem Ansatz ${\displaystyle f_{n}=\lambda ^{n}}$ wird eine nichttriviale Lösung der homogenen Gleichung ${\displaystyle \textstyle \sum _{i=0}^{k}a_{i}f_{n-i}=0}$ ermittelt. ${\displaystyle a_{0}}$ sei o. B. d. A. gleich ${\displaystyle -1}$. Dies führt auf die charakteristische Gleichung ${\displaystyle \textstyle \lambda ^{n}-\sum _{i=1}^{k}a_{i}\lambda ^{n-i}=0}$. Die verschiedenen Nullstellen der Gleichung ergeben dann linear unabhängige Lösungsfolgen und damit Lösungen der homogenen Gleichung.

Sind die Nullstellen nicht verschieden, so kommt die zu einer mehrfachen Nullstelle gehörende Lösungsfolge mit einem Faktor in der Lösung vor, der ein Polynom in ${\displaystyle n}$ mit einem Grad kleiner als die Vielfachheit der Nullstelle ist.

Beispiel:

${\displaystyle 3f_{n}=-2f_{n-1}+5f_{n-2}}$	Homogene Differenzengleichung
${\displaystyle 3\lambda ^{n}+2\lambda ^{n-1}-5\lambda ^{n-2}=0}$	Ansatz: ${\displaystyle f_{j}=\lambda ^{j}}$
${\displaystyle 3\lambda ^{2}+2\lambda -5=0}$	Charakteristische Gleichung mit ${\displaystyle \textstyle \lambda _{1{,}2}=-{\frac {1}{3}}\pm {\frac {4}{3}}\in \left\{-{\frac {5}{3}},1\right\}}$
${\displaystyle \textstyle f_{n}=c_{1}\left(-{\frac {5}{3}}\right)^{n}+c_{2}1^{n}}$	Lösung der Gleichung als Linearkombination spezieller Lösungen. Die Konstanten ${\displaystyle c_{1}}$ und ${\displaystyle c_{2}}$ können aus zwei Anfangswerten von ${\displaystyle F}$, ${\displaystyle f_{0}}$ und ${\displaystyle f_{1}}$ bestimmt werden.

Partikuläre Lösung

Die Bestimmung geschieht h​ier analog z​u Differentialgleichungen.

Störfunktion b(n)	Ansatz partikuläre Lösung
Konstante	Konstante
Polynom	Polynom gleichen Grades
${\displaystyle u^{n}}$	${\displaystyle k\cdot u^{n}}$
${\displaystyle \sin(\alpha \cdot n),\cos(\alpha \cdot n)}$	${\displaystyle A\cdot \sin(\alpha \cdot n)+B\cdot \cos(\alpha \cdot n)}$

Falls der Ansatz bereits eine Lösung der zugehörigen homogenen Differenzengleichung sein sollte, ist er mit ${\displaystyle n,n^{2},n^{3}}$ zu multiplizieren, bis er eine Lösung der inhomogenen Gleichung liefert.

Beispiel

Gegeben ist eine Folge ${\displaystyle F}$ mit ${\displaystyle f_{0}=2,\quad f_{1}=5,\quad f_{n}=5f_{n-1}-6f_{n-2}+(n-2)}$. Gesucht ist die explizite Formel. Wir suchen zuerst die allgemeine Lösung für die homogene Rekursionsgleichung.

${\displaystyle f_{n}-5f_{n-1}+6f_{n-2}=n-2}$	Inhomogene Rekursionsgleichung
${\displaystyle f_{\mathrm {homogen} ,n}-5f_{\mathrm {homogen} ,n-1}+6f_{\mathrm {homogen} ,n-2}=0}$	Homogene Rekursionsgleichung, Ansatz: ${\displaystyle f_{\mathrm {homogen} ,n}=\lambda ^{n}}$
${\displaystyle \lambda ^{n}-5\lambda ^{n-1}+6\lambda ^{n-2}=\lambda ^{n-2}(\lambda ^{2}-5\lambda +6)=0}$	Kürzen von ${\displaystyle \lambda ^{n-2}}$, Lösungen ${\displaystyle \lambda =0}$ verfallen
${\displaystyle \lambda ^{2}-5\lambda +6=0}$	Charakteristische Gleichung, Lösungen: ${\displaystyle \lambda _{1}=2}$ und ${\displaystyle \lambda _{2}=3}$
${\displaystyle f_{\mathrm {homogen} ,n}=c_{1}\cdot 2^{n}+c_{2}\cdot 3^{n}}$	Allgemeine Lösung der homogenen Rekursionsgleichung

Nun suchen w​ir eine spezielle Lösung d​er inhomogenen Rekursionsgleichung, d​ie partikuläre Lösung.

${\displaystyle f_{n}-5f_{n-1}+6f_{n-2}=n-2}$

Inhomogene Rekursionsgleichung, Ansatz: ${\displaystyle f_{\mathrm {partikulaer} ,n}=c_{3}n+c_{4}}$

${\displaystyle c_{3}n+c_{4}-5(c_{3}(n-1)+c_{4})+6(c_{3}(n-2)+c_{4})=n-2}$

${\displaystyle 2c_{3}n-7c_{3}+2c_{4}=n-2}$	Lösung durch Koeffizientenvergleich: ${\displaystyle \textstyle c_{3}={\frac {1}{2}},c_{4}={\frac {3}{4}}}$
${\displaystyle \textstyle f_{\mathrm {partikulaer} ,n}={\frac {1}{2}}n+{\frac {3}{4}}}$	Partikuläre Lösung

Gemäß den obigen Rechenregeln erhalten wir mit ${\displaystyle \textstyle f_{n}=f_{\mathrm {homogen} ,n}+f_{\mathrm {partikulaer} ,n}=c_{1}\cdot 2^{n}+c_{2}\cdot 3^{n}+{\frac {1}{2}}n+{\frac {3}{4}}}$ alle Lösungen der inhomogenen Rekursionsgleichung. Nun müssen ${\displaystyle c_{1}}$ und ${\displaystyle c_{2}}$ noch so bestimmt werden, dass ${\displaystyle f_{0}=2}$ und ${\displaystyle f_{1}=5}$ gilt.

	${\displaystyle \textstyle c_{1}\cdot 2^{n}+c_{2}\cdot 3^{n}+{\frac {1}{2}}n+{\frac {3}{4}}=f_{n}}$
${\displaystyle n=0}$:	${\displaystyle \textstyle c_{1}+c_{2}+{\frac {3}{4}}=2}$
${\displaystyle n=1}$:	${\displaystyle \textstyle c_{1}\cdot 2+c_{2}\cdot 3+{\frac {5}{4}}=5}$
	${\displaystyle \textstyle \Rightarrow c_{1}=0,c_{2}={\frac {5}{4}}}$

Also ist ${\displaystyle \textstyle f_{n}={\frac {5}{4}}\cdot 3^{n}+{\frac {1}{2}}\cdot n+{\frac {3}{4}}}$ die gesuchte Formel.

Siehe auch

• Inhomogene lineare Differentialgleichung
• Erzeugende Funktion
• Gewöhnliche Differentialgleichung

Literatur

• L. Berg: Lineare Gleichungssysteme mit Bandstruktur. Carl Hanser, München/Wien 1986.
• Ian Jaques: Mathematics for Economics and Business. Fifth Edition, Prentice Hall, 2006 (Kapitel 9.1 Difference Equations).