Inhomogene lineare Differentialgleichung

Eine inhomogene lineare Differentialgleichung i​st eine Differentialgleichung 1. Ordnung d​er Form

${\displaystyle y^{\prime }(x)=a(x)y(x)+b(x)}$

mit stetigen Funktionen ${\displaystyle a(x),b(x)}$, oder allgemeiner eine Differentialgleichung n. Ordnung der Form

${\displaystyle \textstyle y^{(n)}(x)=\sum _{k=0}^{n-1}a_{k}(x)y^{(k)}(x)+b(x)}$

mit stetigen Funktionen ${\displaystyle a_{0}(x),\ldots ,a_{n-1}(x),b(x)}$. Die Funktion ${\displaystyle b(x)}$ wird als Inhomogenität der Differentialgleichung bezeichnet.

Lösung

Inhomogene lineare Differentialgleichungen können mit der Methode der Variation der Konstanten gelöst werden. Man bestimmt zunächst ein Fundamentalsystem ${\displaystyle y_{1}(x),\ldots ,y_{n}(x)}$ von ${\displaystyle n}$ Lösungen der zugehörigen homogenen Gleichung ${\displaystyle \textstyle y^{(n)}(x)=\sum _{k=0}^{n-1}a_{k}(x)y^{(k)}(x)}$ - im Fall ${\displaystyle y^{\prime }(x)=a(x)y(x)+b(x)}$ also nur eine Lösung der Gleichung ${\displaystyle y^{\prime }(x)=a(x)y(x)}$ -, wählt dann den Ansatz ${\displaystyle y(x)=\sum _{k=1}^{n}c_{k}(x)y_{k}(x)}$ und löst die sich ergebenden Differentialgleichungen für ${\displaystyle c_{1}(x),\ldots ,c_{n}(x)}$.

Beispiel

Wir betrachten d​ie Differentialgleichung

${\displaystyle y^{\prime }(x)=xy(x)+xe^{x^{2}}}$.

Die zugehörige homogene Gleichung ${\displaystyle y^{\prime }(x)=xy(x)}$ hat die Lösungen ${\displaystyle y(x)=Ce^{\frac {x^{2}}{2}}}$. Wir wählen deshalb den Ansatz

${\displaystyle y(x)=C(x)e^{\frac {x^{2}}{2}}}$,

woraus sich für ${\displaystyle C(x)}$ die Differentialgleichung

${\displaystyle C^{\prime }(x)=xe^{\frac {x^{2}}{2}}}$

mit Lösung ${\displaystyle C(x)=e^{\frac {x^{2}}{2}}+D}$ ergibt. Die Lösungen der inhomogenen Gleichung sind also von der Form

${\displaystyle y(x)=e^{x^{2}}+De^{\frac {x^{2}}{2}}}$.

Literatur

• Wolfgang Walter: Gewöhnliche Differentialgleichungen. 3. Auflage. Springer Verlag, 1986, ISBN 3-540-16143-0