Kurvenschar

Eine Kurvenschar, auch Funktionenschar, Funktionsschar oder Parameterfunktion, ist eine Menge verschiedener Kurven, deren Abbildungsvorschriften sich in mindestens einem Parameter unterscheiden. Sonderfälle sind das Büschel, eine einparametrige Schar, und das Bündel, eine Schar mit einem allen Funktionen gemeinsamen Punkt.

Parabelschar ${\displaystyle f_{a}(x)=ax^{2}}$
Bündel in ${\displaystyle (0,0)}$ und Büschel in ${\displaystyle a}$

Definition

Die Schar i​st eine Menge v​on Punkten a​uf einer Kurve, Kurven a​uf einer Fläche o​der Flächen i​m Raum, d​ie jeweils d​urch eine Gleichung o​der ein System v​on Gleichungen m​it veränderlichen Parametern beschrieben werden.

Gemäß e​iner anderen Definition ergibt s​ich eine Kurvenschar a​us dem Graphen e​iner Funktion, i​n der e​in freier Parameter d​er betreffenden Funktion i​n Parameterdarstellung variiert wird.

Zur Veranschaulichung v​on Funktionsscharen eignen s​ich besonders dynamische-Geometrie-Systeme.

Sonderfälle

• Handelt es sich bei allen Schaubildern der Funktionsschar um Geraden, so spricht man von einer Geradenschar.
  • Verlaufen dabei die einzelnen Geraden auch noch parallel, so bezeichnet man sie als Parallelenschar.
  • Wenn sich alle beteiligten Geraden in einem Punkt schneiden, handelt es sich um ein Geradenbündel.
  • Wenn sich alle beteiligten Geraden sowohl in einem Punkt schneiden als auch in einer Ebene liegen, handelt es sich um ein Geradenbüschel.

• Handelt es sich bei allen Kurven der Schar um Parabeln, so spricht man von einer Parabelschar.

Beispiele

• alle Kurven der zur Funktion ${\displaystyle \!\ f_{p}(x)=p}$ gehörigen Kurvenschar verlaufen parallel zur ${\displaystyle x}$-Achse (Geraden). Der Parameter dieser Kurvenschar ist ${\displaystyle p}$.
• alle Kurven der zur Funktion ${\displaystyle f_{a}(x)=ax^{2},\,a\neq 0}$ gehörigen Schar sind Parabeln durch den Koordinatenursprung (siehe Abbildung). Der Parameter ist ${\displaystyle a}$.
• alle Kurven der zur Relation ${\displaystyle \!\ r^{2}=x^{2}+y^{2}\ \Leftrightarrow {}\ r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$ gehörigen Schar sind konzentrische Kreise. Der Parameter ist hier ${\displaystyle r}$.

Literatur

• Kurvenschar In: Schülerduden – Mathematik II. Bibliographisches Institut & F.A. Brockhaus, 2004, ISBN 3-411-04275-3, S. 241–242
• Mark Ja. Vygodskij: Höhere Mathematik griffbereit: Definitionen, Theoreme, Beispiele. Springer 2013, ISBN 9783322901132, S. 696

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Family of Curves. In: MathWorld (englisch).
• Funktionenschar auf .onlinemathe.de
• Kurvenschar auf www.rhetos.de