Kreuzungszahl (Knotentheorie)

Die Kreuzungszahl o​der Überkreuzungszahl e​ines Knotens o​der einer Verschlingung i​st eine elementare Invariante a​us dem mathematischen Gebiet d​er Knotentheorie.

Tabelle aller Primknoten mit Kreuzungszahl ${\displaystyle cr(K)\leq 7}$. (Zu chiralen Knoten ist das Spiegelbild jeweils weggelassen.)

Die Kreuzungszahl ${\displaystyle cr(K)}$ eines Knotens (oder einer Verschlingung) ${\displaystyle K}$ ist definiert als die minimale Anzahl von Überkreuzungen in einem den Knoten (oder die Verschlingung) ${\displaystyle K}$ darstellenden Knotendiagramm.

In Knotentabellen werden Knoten üblicherweise nach ihrer Kreuzungszahl angeordnet und jeder Knoten wird durch zwei Zahlen ${\displaystyle p_{q}}$ bezeichnet, wobei ${\displaystyle p}$ die Kreuzungszahl des Knotens ist und ${\displaystyle q}$ die Knoten mit derselben Kreuzungszahl durchnummeriert. Zum Beispiel ist die Kleeblattschlinge ${\displaystyle 3_{1}}$ der einzige Knoten mit Kreuzungszahl 3 und der Achterknoten ${\displaystyle 4_{1}}$ der einzige Knoten mit Kreuzungszahl 4. Es gibt 1.701.936 Primknoten mit Kreuzungszahl ${\displaystyle cr(K)\leq 16}$.

Im Allgemeinen ist die Kreuzungszahl eines Knotens schwierig zu berechnen. Wenn man aber für einen Knoten ${\displaystyle K}$ ein reduziertes alternierendes Diagramm findet, dann berechnet dessen Kreuzungszahl die Kreuzungszahl ${\displaystyle cr(K)}$.[1]

Explizit bekannt s​ind die Kreuzungszahlen folgender Knotenklassen:

• Die Kreuzungszahl des ${\displaystyle (p,q)}$-Torusknotens mit ${\displaystyle p,q>0}$ ist ${\displaystyle \min((p-1)q,(q-1)p).}$
• Die Kreuzungszahl des Twist-Knotens ${\displaystyle T_{n}}$ ist ${\displaystyle n+2}$.
• Die Kreuzungszahl des 2-Brücken-Knotens mit Twist-Parametern ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$ ist ${\displaystyle a_{1}+\ldots +a_{n}}$.[2]

Es ist eine offene Vermutung, dass die Kreuzungszahl additiv unter der zusammenhängenden Summe von Knoten ist. Bewiesen ist die Ungleichung ${\displaystyle {\frac {1}{152}}(cr(K_{1})+cr(K_{2}))\leq cr(K_{1}\sharp K_{2})\leq cr(K_{1})+cr(K_{2})}$.[3]

Einzelnachweise

1. Kunio Murasugi: Jones polynomials and classical conjectures in knot theory. Topology 26 (1987), no. 2, 187–194.
2. Dies ist die Anzahl der Überkreuzungen im Standard-Diagramm des 2-Brücken-Knotens, welches reduziert und alternierend ist und deshalb die Kreuzungszahl berechnet.
3. Marc Lackenby: The crossing number of composite knots. J. Topol. 2 (2009), no. 4, 747–768.