Kleeblattschlinge
Die Kleeblattschlinge oder der Kleeblattknoten ist einer der einfachsten Knoten und spielt eine zentrale Rolle in der Knotentheorie. Der Knoten hat seinen Namen wegen seiner Ähnlichkeit zu Kleeblättern.
Parametrisierung und Invarianten
Eine einfache Parameterdarstellung der Kleeblattschlinge ist:
Die so definierte Kurve liegt überschneidungsfrei auf dem Torus, der in Zylinderkoordinaten durch definiert ist. Damit ist die Kleeblattschlinge das einfachste Beispiel eines Torusknotens.[1]
Das Alexander-Polynom der Kleeblattschlinge ist
und ihr Jones-Polynom ist
- oder
je nachdem, ob sie rechts- oder linkshändig ist.
Die Knotengruppe hat die Präsentierung
und ist damit isomorph zur Zopfgruppe .
Das Knotenkomplement der Kleeblattschlinge ist diffeomorph zu , also dem Quotienten von SL(2,R) nach der Modulgruppe .
Symmetrie
Die Kleeblattschlinge ist chiral, d. h., sie ist nicht in ihr Spiegelbild deformierbar. Deshalb existieren zwei nicht ineinander überführbare Formen von Kleeblattschlingen. Diese werden auch rechtshändige und linkshändige Kleeblattschlinge genannt.[2]
- Eine linkshändige Kleeblattschlinge.
- Eine rechtshändige Kleeblattschlinge.
In der Kunst
Als einfacher Knoten kommt die Kleeblattschlinge häufig in der bildenden Kunst und der Ikonographie vor. So sind zum Beispiel die Triquetra und die zusammenhängende Form der Valknut Kleeblattschlingen.
- Das Logo des Deutschen Fußball-Bunds ähnelt einer Kleeblattschlinge.
- Eine Triquetra.
- Ein alter nordischer Mjöllnir, Anhänger mit Kleeblättern.
Galerie
- Ein einfaches Triquetra-Symbol
- Eine fest geknüpfte Triquetra
- Die Valknut
- Eine metallische Valknut in Form eines Kleeblattes
- Seifert-Fläche für eine Kleeblattschlinge.
- Nicht-orientierbare Fläche, deren Rand eine Kleeblattschlinge ist.
Literatur
- Max Dehn: Die beiden Kleeblattschlingen. In: Mathematische Annalen. 102, 1914, S. 402–413 (uni-goettingen.de).
Weblinks
Einzelnachweise
- uni-math.gwdg.de (PDF; 2,2 MB) Knotentheorie. Abgerufen am 3. Mai 2012.
- cut-the-knot.org über Achtknoten Aufgerufen am 3. Mai 2012.