Twist-Knoten (Mathematik)

Im mathematischen Gebiet der Knotentheorie ist ein Twist-Knoten ein durch wiederholtes Twisten eines Unknotens entstandener Knoten. Für jede Anzahl ${\displaystyle n}$ von Halb-Twists gibt es einen Twist-Knoten ${\displaystyle T_{n}}$. Die Twist-Knoten bilden also eine unendliche Familie von Knoten, neben den Torusknoten werden die Twist-Knoten als die einfachste Familie von Knoten angesehen.

• 
  Ein Halb-Twist
  (Kleeblattschlinge)
• 
  Zwei Halb-Twists
  (Achterknoten)
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  Drei Halb-Twists
  (5₂-Knoten)
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  Vier Halb-Twists
  (Stevedore-Knoten)
• 
  Fünf Halb-Twists
  (7₂-Knoten)
• 
  Sechs Halb-Twists
  (8₁-Knoten)

Twist-Knoten s​ind also d​ie Whitehead-Doppel d​es Unknotens.

Eigenschaften

Der Stevedore-Knoten entsteht aus einem Unknoten mit vier Half-Twists durch Verschlingen der beiden Enden.

Alle Twist-Knoten haben Entknotungszahl ${\displaystyle u(K)=1}$, weil der Knoten (wie im Bild rechts) durch Entschlingen der beiden Enden entknotet werden kann.

Twist-Knoten s​ind spezielle 2-Brücken-Knoten.

Mit Ausnahme d​er Kleeblattschlinge s​ind alle Twist-Knoten hyperbolisch.

Nur d​er Unknoten u​nd der Stevedore-Knoten s​ind Scheibenknoten.

Die Kreuzungszahl des Twist-Knotens ${\displaystyle T_{n}}$ ist ${\displaystyle n+2}$.

Alle Twist-Knoten s​ind invertierbar.

Nur d​er Unknoten u​nd der Achterknoten s​ind amphichiral.

Die Knotengruppe von ${\displaystyle T_{n}}$ hat die Präsentierung ${\displaystyle \langle a,b\mid aw^{n}=w^{n}b\rangle }$ mit ${\displaystyle w=(ba^{-1}b^{-1}a)^{-1}}$.

Invarianten

Das Alexander-Polynom des Twist-Knotens ${\displaystyle T_{n}}$ ist

${\displaystyle \Delta (t)={\begin{cases}{\frac {n+1}{2}}t-n+{\frac {n+1}{2}}t^{-1}&{\text{wenn }}n{\text{ ungerade ist}}\\-{\frac {n}{2}}t+(n+1)-{\frac {n}{2}}t^{-1}&{\text{wenn }}n{\text{ gerade ist,}}\\\end{cases}}}$

und d​as Conway-Polynom ist

${\displaystyle \nabla (z)={\begin{cases}{\frac {n+1}{2}}z^{2}+1&{\text{wenn }}n{\text{ ungerade ist}}\\1-{\frac {n}{2}}z^{2}&{\text{wenn }}n{\text{ gerade ist.}}\\\end{cases}}}$

Für ungerade ${\displaystyle n}$ ist das Jones-Polynom

${\displaystyle V(q)={\frac {1+q^{-2}+q^{-n}-q^{-n-3}}{q+1}},}$

und für gerade ${\displaystyle n}$ ist es

${\displaystyle V(q)={\frac {q^{3}+q-q^{3-n}+q^{-n}}{q+1}}.}$

Literatur

Dale Rolfsen: Knots a​nd links. Corrected reprint o​f the 1976 original. Mathematics Lecture Series, 7. Publish o​r Perish, Inc., Houston, TX, 1990. ISBN 0-914098-16-0

Weblinks

Twist Knot (MathWorld)