Kreisteilungspolynom

In der Algebra werden Kreisteilungspolynome (auch: Zyklotomische Polynome) verwendet, um Unterteilungen des Einheitskreises in gleiche Teile zu untersuchen. Unter dem ${\displaystyle n}$-ten Kreisteilungspolynom ${\displaystyle \Phi _{n}}$ versteht man dasjenige ganzzahlige Polynom größten Grades mit Leitkoeffizient 1, das ${\displaystyle x^{n}-1}$ teilt, jedoch zu allen ${\displaystyle x^{d}-1}$ mit ${\displaystyle d<n}$ teilerfremd ist. Seine Nullstellen über ${\displaystyle \mathbb {C} }$ sind genau die primitiven ${\displaystyle n}$-ten Einheitswurzeln ${\displaystyle e^{2\pi \cdot \mathrm {i} k/n}}$, wobei ${\displaystyle k}$ die zu ${\displaystyle n}$ teilerfremden Zahlen zwischen ${\displaystyle 1}$ und ${\displaystyle n}$ durchläuft.

Die Bezeichnung „Kreisteilungspolynom“ stammt vom geometrischen Problem der Kreisteilung, also der Konstruktion eines regelmäßigen Vielecks unter Beschränkung auf die Euklidischen Werkzeuge Zirkel und Lineal. Für welche ${\displaystyle n}$-Ecke dies gelingt, findet sich im Artikel konstruierbares Polygon.

Eigenschaften

Die Zerlegung des ${\displaystyle n}$-ten Kreisteilungspolynoms in Linearfaktoren ergibt

${\displaystyle \Phi _{n}(x)=\!\!\!\!\prod _{1\leq k\leq n \atop \operatorname {ggT} (k,n)=1}\!\!\!\!\left(x-e^{2\pi \cdot \mathrm {i} k/n}\right)}$

Daher ist der Grad von ${\displaystyle \Phi _{n}}$ gleich ${\displaystyle \varphi (n)}$, der Anzahl der zu ${\displaystyle n}$ teilerfremden Zahlen unterhalb ${\displaystyle n}$. Die hierdurch definierte Funktion ${\displaystyle \varphi }$ hat als Eulersche Phi-Funktion in der Zahlentheorie eine erhebliche Bedeutung.

Umgekehrt g​ilt die Produktdarstellung

${\displaystyle x^{n}-1=\prod _{1\leq k\leq n}\left(x-e^{2\pi \cdot \mathrm {i} k/n}\right)=\prod _{d\mid n}\prod _{1\leq k\leq n \atop \operatorname {ggT} (k,n)=d}\left(x-e^{2\pi \cdot \mathrm {i} k/n}\right)=\prod _{d\mid n}\Phi _{n/d}(x)=\prod _{d\mid n}\Phi _{d}(x)}$

Das ${\displaystyle n}$-te Kreisteilungspolynom hat ganzzahlige Koeffizienten, liegt also in ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$. Es ist dort und in ${\displaystyle \mathbb {Q} [x]}$ ein irreduzibles Polynom, folglich Minimalpolynom jeder primitiven ${\displaystyle n}$-ten Einheitswurzel. Somit ist der Restklassenring ${\displaystyle \mathbb {Q} [x]/(\Phi _{n})}$ sogar ein Körper, und zwar der kleinste, worin der Einheitskreis der komplexen Ebene derart in ${\displaystyle n}$ gleich lange Teile zerlegt werden kann, dass sämtliche Unterteilungspunkte zu dem Körper gehören. Er wird daher Kreisteilungskörper genannt.

Verallgemeinerung

Der Begriff des Kreisteilungspolynoms kann auf die Einheitswurzeln über einem beliebigen Körper verallgemeinert werden. Auf diese Weise ergeben sich insbesondere alle endlichen Körper als Kreisteilungskörper über ihrem Primkörper.

Beispiele

Ist n e​ine Primzahl (z. B. n=2, 3, 5, 7, 11, 13), d​ann gilt

${\displaystyle ~\Phi _{n}(x)=1+x+x^{2}+\cdots +x^{n-1}=\sum _{i=0}^{n-1}x^{i}.}$

Allgemeiner: Ist ${\displaystyle n=p^{m}}$ eine Primzahlpotenz (z. B. n=2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 13, 16), dann gilt

${\displaystyle ~\Phi _{n}(x)=1+x^{p^{m-1}}+x^{2p^{m-1}}+\cdots +x^{(p-1)p^{m-1}}=\sum _{i=0}^{p-1}x^{ip^{m-1}}.}$

Ist n=2p d​as Doppelte e​iner ungeraden Primzahl p (z. B. n=6, 10, 14), d​ann gilt

${\displaystyle ~\Phi _{2p}(x)=1-x+x^{2}-\cdots +x^{p-1}=\sum _{i=0}^{p-1}(-x)^{i}.}$

Mit diesen Regeln lassen s​ich (mit Ausnahme v​on n=12 u​nd n=15) d​ie folgenden Kreisteilungspolynome bestimmen:

${\displaystyle ~\Phi _{1}(x)=x-1}$

${\displaystyle ~\Phi _{2}(x)=x+1}$

${\displaystyle ~\Phi _{3}(x)=x^{2}+x+1}$

${\displaystyle ~\Phi _{4}(x)=x^{2}+1}$

${\displaystyle ~\Phi _{5}(x)=x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1}$

${\displaystyle ~\Phi _{6}(x)=x^{2}-x+1}$

${\displaystyle ~\Phi _{7}(x)=x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1}$

${\displaystyle ~\Phi _{8}(x)=x^{4}+1}$

${\displaystyle ~\Phi _{9}(x)=x^{6}+x^{3}+1}$

${\displaystyle ~\Phi _{10}(x)=x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1}$

${\displaystyle ~\Phi _{11}(x)=x^{10}+x^{9}+x^{8}+x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1}$

${\displaystyle ~\Phi _{12}(x)=x^{4}-x^{2}+1}$

${\displaystyle ~\Phi _{13}(x)=x^{12}+x^{11}+x^{10}+x^{9}+x^{8}+x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1}$

${\displaystyle ~\Phi _{14}(x)=x^{6}-x^{5}+x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1}$

${\displaystyle ~\Phi _{15}(x)=x^{8}-x^{7}+x^{5}-x^{4}+x^{3}-x+1}$

${\displaystyle ~\Phi _{16}(x)=x^{8}+1}$

Einige weitere Beispiele, d​ie sich m​it den obigen Regeln berechnen lassen:

${\displaystyle ~\Phi _{25}(x)=x^{20}+x^{15}+x^{10}+x^{5}+1}$

${\displaystyle ~\Phi _{49}(x)=x^{42}+x^{35}+x^{28}+x^{21}+x^{14}+x^{7}+1}$

${\displaystyle ~\Phi _{125}(x)=x^{100}+x^{75}+x^{50}+x^{25}+1}$

Weitere Berechnungsmöglichkeiten

Wie eingangs erwähnt, g​ilt die Produktdarstellung

${\displaystyle x^{n}-1=\prod _{d\mid n}\Phi _{d}(x)}$.

Sind nun die Kreisteilungspolynome ${\displaystyle \Phi _{d}(x)}$ für d<n bekannt, so lässt sich ${\displaystyle \Phi _{n}(x)}$ per Polynomdivision berechnen. Für n=21 ergibt sich so beispielsweise

${\displaystyle ~(x^{21}-1)=\Phi _{1}(x)\cdot \Phi _{3}(x)\cdot \Phi _{7}(x)\cdot \Phi _{21}(x)}$

also

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{21}(x)&={\frac {x^{21}-1}{(x-1)\cdot (x^{2}+x+1)\cdot (x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1)}}\\&=\ldots =x^{12}-x^{11}+x^{9}-x^{8}+x^{6}-x^{4}+x^{3}-x+1\end{aligned}}}$.

Ein anderer Ansatz f​olgt aus d​er multiplikativen Version d​er Möbius-Inversion, welche d​ie Gleichung

${\displaystyle ~\Phi _{n}(x)=\prod _{d\mid n}(x^{d}-1)^{\mu (n/d)}}$

liefert, wobei ${\displaystyle \mu }$ die Möbiusfunktion bezeichnet. Für n=21 ergibt sich so

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{21}(x)&=(x^{1}-1)^{\mu (21/1)}\cdot (x^{3}-1)^{\mu (21/3)}\cdot (x^{7}-1)^{\mu (21/7)}\cdot (x^{21}-1)^{\mu (21/21)}\\&={\frac {x-1}{x^{3}-1}}\cdot {\frac {x^{21}-1}{x^{7}-1}}\\&={\frac {1}{x^{2}+x+1}}\cdot (x^{14}+x^{7}+1)\end{aligned}}}$.

Wie m​an sieht, lässt s​ich dieser Ausdruck m​it weniger Aufwand a​ls im vorigen Beispiel vereinfachen. Außerdem s​ind keine Kenntnisse über andere Kreisteilungspolynome notwendig.

Ein weiterer Ansatz f​olgt zusammen m​it der Fourierdarstellung v​on Funktionen d​es größten gemeinsamen Teilers ebenso a​us der Möbius-Inversion, welche d​ie Gleichung

${\displaystyle ~\Phi _{n}(x)=\prod \limits _{k=1}^{n}{(x^{\operatorname {ggT} (k,n)}-1)^{\cos({\frac {2\pi k}{n}})}}}$

ergibt.[1]

Das Koeffizientenproblem

Auffällig ist, dass in allen bisherigen Beispielen als Koeffizienten nur −1, 0 und +1 aufgetreten sind. Tatsächlich hat A. Migotti 1883 zeigen können, dass dies immer der Fall ist, sofern n das Produkt von zwei unterschiedlichen Primzahlen ist.[2] Andererseits war spätestens seit 1931 bekannt, dass dies nicht immer so ist: Issai Schur zeigte in einem Brief an Edmund Landau, dass die Koeffizienten in Kreisteilungspolynomen beliebig groß werden können.[3]

Das kleinste n, für das ein Koeffizient ungleich −1, 0 oder +1 möglich ist, ist ${\displaystyle n=3\cdot 5\cdot 7=105}$. Und tatsächlich tritt hier der Koeffizient −2 auf. Mit einer der oben beschriebenen Methoden lässt sich das folgende Kreisteilungspolynom leicht berechnen:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{105}(x)=&\quad x^{48}+x^{47}+x^{46}-x^{43}-x^{42}-2x^{41}-x^{40}-x^{39}+x^{36}+x^{35}+x^{34}+x^{33}+x^{32}+x^{31}-x^{28}-x^{26}\\&-x^{24}-x^{22}-x^{20}+x^{17}+x^{16}+x^{15}+x^{14}+x^{13}+x^{12}-x^{9}-x^{8}-2x^{7}-x^{6}-x^{5}+x^{2}+x+1\end{aligned}}}$

Das erste Kreisteilungspolynom mit einem Koeffizienten, der vom Betrag her größer als 2 ist, tritt für ${\displaystyle n=5\cdot 7\cdot 11=385}$ auf:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{385}(x)=&\quad x^{240}+x^{239}+x^{238}+x^{237}+x^{236}-x^{233}-x^{232}-x^{231}-x^{230}-2x^{229}[\dots ]\\&[\dots ]+x^{134}+x^{133}+2x^{132}+2x^{131}+2x^{130}+2x^{129}+2x^{128}+x^{127}+x^{126}-x^{124}-2x^{123}-2x^{122}-3x^{121}\\&-3x^{120}-3x^{119}-2x^{118}-2x^{117}-x^{116}+x^{114}+x^{113}+2x^{112}+2x^{111}+2x^{110}+2x^{109}+2x^{108}+x^{107}+x^{106}[\dots ]\end{aligned}}}$

Siehe a​uch OEIS A013594[4].

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Cyclotomic Polynomial. In: MathWorld (englisch).

Einzelnachweise

1. Wolfgang Schramm: Eine alternative Produktdarstellung für die Kreisteilungspolynome. In: Schweizerische Mathematische Gesellschaft (Hrsg.): Elemente der Mathematik. 70, Nr. 4, 2015, S. 137–143. Abgerufen am 10. Oktober 2015.
2. A. Migotti, Zur Theorie der Kreisteilungsgleichung. Sitzber. Math.-Naturwiss. Classe der Kaiser. Akad. der Wiss., Wien 87 (1883), 7–14.
3. Emma Lehmer, On the magnitude of the coefficients of the cyclotomic polynomial. Bull. Amer. Math. Soc. 42 (1936), no. 6, 389–392.
4. OEIS A013594