Primzahlpotenz

Primzahlpotenzen (kurz Primpotenzen) sind natürliche Zahlen, die eine Potenz einer Primzahl ${\displaystyle p}$ sind, z. B. ${\displaystyle 625=5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=5^{4}}$.

Primzahlpotenzen treten b​ei endlichen Körpern auf. Die Anzahl d​er Elemente e​ines endlichen Körpers i​st immer e​ine Primzahlpotenz.

Beispiele und Werte

• ${\displaystyle 169=13^{2}}$
• ${\displaystyle 2401=7^{4}}$
• ${\displaystyle 1024=2^{10}}$

Die ersten Primzahlpotenzen sind:

2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 13, 16, 17, 19, 23, 25, 27, 29, 31, 32, 37, 41, 43, 47, 49, 53, 59, 61, 64, 67, 71, 73, 79, 81, 83, 89, 97, 101 …[1]

Klammert m​an die einfachen Primzahlen aus, erhält man:

4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 49, 64, 81, 121, 125, 128, 169, 243, 256, 289, 343, 361, 512, 529, 625, 729, 841, 961, 1024, 1331 …[2]

Modul

• ${\displaystyle p\geq 5,p^{2}\equiv 1\mod {\{2,3,4,6,8,12,24\}}}$
• ${\displaystyle p\geq 7,p^{4}\equiv 1\mod {\{2,3,4,5,6,8,10,12,15,16,20,24,30,40,48,60,80\}}}$

...

• ${\displaystyle p\geq 23,p^{7920}\equiv 1\mod {\{2-28,30,...\}}}$

...

Verallgemeinerung

In beliebigen kommutativen Ringen mit ${\displaystyle 1}$ werden Primzahlpotenzen durch primäre Ideale und irreduzible Ideale verallgemeinert. In Dedekindringen sind Ideale genau dann primär bzw. irreduzibel, wenn sie von einer Potenz eines Primelementes erzeugt werden.

Sonstiges

Im Film Cube (1997) markieren Primzahlpotenzen diejenigen Räume e​iner kubischen Labyrinthstruktur, d​ie tödliche Fallen enthalten.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Prime Power. In: MathWorld (englisch).

Einzelnachweise

1. A000961 - OEIS. Abgerufen am 19. November 2021.
2. A025475 - OEIS. Abgerufen am 19. November 2021.