Konchoide von de Sluze

Die Konchoide von de Sluze ist eine Schar von ebenen Kurven, die 1662 von René François Walther de Sluze untersucht wurde. In Polarkoordinaten wird sie wie folgt ausgedrückt:

${\displaystyle r=\sec \theta +a\cos \theta }$

Der Sekans ist die Kehrwertfunktion des Kosinus.

Konchoide von de Sluze für verschiedene ${\displaystyle a}$

Für kartesische Koordinaten ${\displaystyle (x,y)}$ gilt:

${\displaystyle (x-1)(x^{2}+y^{2})=ax^{2}}$

Die kartesische Form hat jedoch für ${\displaystyle a=0}$ einen Lösungspunkt ${\displaystyle (0,0)}$, der in der Polarkoordinatenform nicht vorhanden ist.

Diese Ausdrücke haben eine Asymptote ${\displaystyle x=1}$ (für ${\displaystyle a\neq 0}$). Der Punkt, der von der Asymptote a am weitesten entfernt liegt, ist ${\displaystyle (1+a,0)}$. In ${\displaystyle (0,0)}$ kreuzen sich Kurven für ${\displaystyle a<-1}$ selbst.

Die Fläche zwischen Kurve u​nd der Asymptote berechnet s​ich wie folgt:

${\displaystyle |a|(1+a/4)\pi \,}$ für ${\displaystyle a\geq -1}$

${\displaystyle \left(1-{\frac {a}{2}}\right){\sqrt {-(a+1)}}-a\left(2+{\frac {a}{2}}\right)\arcsin {\frac {1}{\sqrt {-a}}}}$ für ${\displaystyle a<-1}$

Die Fläche d​er Schleife ist

${\displaystyle \left(2+{\frac {a}{2}}\right)a\arccos {\frac {1}{\sqrt {-a}}}+\left(1-{\frac {a}{2}}\right){\sqrt {-(a+1)}}}$ für ${\displaystyle a<-1}$

Vier Kurven d​er Schar h​aben spezielle Namen:

• ${\displaystyle a=0}$, Gerade (Asymptote für die anderen Kurven der Schar)
• ${\displaystyle a=-1}$, Zissoide
• ${\displaystyle a=-2}$, rechte Strophoide
• ${\displaystyle a=-4}$, Trisektrix von Maclaurin

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Conchoid of de Sluze. In: MathWorld (englisch).
• John J. O’Connor, Edmund F. Robertson: Conchoid of de Sluze. In: MacTutor History of Mathematics archive.