Zissoide des Diokles

Die Zissoide d​es Diokles (auch: Kissoide d​es Diokles) i​st eine spezielle Kurve 3. Ordnung, d​ie von d​em griechischen Mathematiker Diokles (um 200 v. Chr.) beschrieben wurde, u​m mit diesem Hilfsmittel d​as Problem d​er Würfelverdoppelung (auch a​ls delisches Problem bekannt) z​u lösen. (Mit Zirkel u​nd Lineal allein i​st diese Konstruktionsaufgabe n​icht zu schaffen.) Der Name stammt v​on dem griechischen Wort κισσοειδής (kissoeidēs) für efeuförmig.

Zissoide

Gleichungen der Zissoide

• Kartesische Koordinaten: ${\displaystyle y^{2}\,(2a-x)-x^{3}=0}$
• Parametergleichung: ${\displaystyle x={\frac {2at^{2}}{1+t^{2}}};\qquad y={\frac {2at^{3}}{1+t^{2}}}}$
• Polarkoordinaten: ${\displaystyle r={\frac {2a}{\cos(\varphi )}}-2a\cos(\varphi )=2a\sin \varphi \tan \varphi }$

Eigenschaften der Zissoide

Zissoide als Fußpunktkurve

• Die Punkte der Zissoide sind gekennzeichnet durch folgende geometrische Eigenschaft: Gegeben seien ein Kreis mit Radius a, ein Punkt S auf diesem Kreis und diejenige Tangente, die diesen Kreis im Punkt gegenüber von S berührt. Bezeichnet man nun für einen beliebigen Punkt P der Zissoide den Schnittpunkt der Geraden SP mit dem Kreis als K und den Schnittpunkt von SP mit der erwähnten Kreistangente als A, so sind die Streckenlängen ${\displaystyle {\overline {SP}}}$ und ${\displaystyle {\overline {KA}}}$ gleich groß (Diese Eigenschaft folgt direkt aus der Definition allgemeiner Zissoiden).
• Die Gerade der Gleichung ${\displaystyle x\,=2a}$ ist Asymptote der Kurve.
• Die Fläche, die von der Zissoide und ihrer Asymptote begrenzt wird, hat den Flächeninhalt ${\displaystyle 3\,\pi a^{2}}$.
• Die Zissoide ergibt sich auch als Fußpunktkurve einer Parabel, wenn man deren Scheitelpunkt als Bezugspunkt wählt.

Literatur

• Dörte Haftendorn: Kurven erkunden und verstehen: Mit GeoGebra und anderen Werkzeugen. Springer, 2016, ISBN 9783658147495, S. 64–67, 74–78, 258–261
• Eugene V. Shikin: Handbook and Atlas of Curves. CRC Press, 1996, ISBN 9780849389634, S. 110-118
• Jan van Maanen: From Quadrature to Integration: Thirteen Years in the Life of the Cissoid. In: The Mathematical Gazette, Band 75, Nr. 471 (März, 1991), S. 1–15 (JSTOR)

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Cissoid of Diocles. In: MathWorld (englisch).
• John J. O’Connor, Edmund F. Robertson: Cissoid. In: MacTutor History of Mathematics archive.
• Xah Lee: Cissoid of Diocles. (englisch)
• allgemeine Kissoiden
• Zissoide zu Gerade und Kreis