Kombinationssatz von Maskit

Der Kombinationssatz v​on Maskit i​st ein Lehrsatz a​us dem mathematischen Gebiet d​er Kleinschen Gruppen.

Er g​ibt Bedingungen für d​ie Konstruierbarkeit diskreter Gruppen hyperbolischer Isometrien a​ls amalgamierte Produkte o​der HNN-Erweiterungen.

Er verallgemeinert d​en Kombinationssatz v​on Klein u​nd wird deshalb gelegentlich a​uch als Kombinationssatz v​on Klein-Maskit bezeichnet.

Erster Kombinationssatz

Seien ${\displaystyle G_{1},G_{2}}$ Kleinsche Gruppen, so dass ${\displaystyle H:=G_{1}\cap G_{2}}$ eine quasifuchssche Gruppe ist. Seien ${\displaystyle \Omega _{1},\Omega _{2}}$ die beiden Zusammenhangskomponenten des Komplements der Limesmenge

${\displaystyle \Lambda (H):=S_{\infty }^{2}\setminus \Lambda (H)=\Omega _{1}\cup \Omega _{2}}$

und s​ei

${\displaystyle H(\Omega _{i})\subset \Omega _{i},i=1,2}$

aber

${\displaystyle g(\Omega _{i})\cap \Omega _{i}=\emptyset \ \forall g\in G_{i}\setminus H.}$

Dann ist die von ${\displaystyle G_{1}}$ und ${\displaystyle G_{2}}$ erzeugte Untergruppe eine diskrete Gruppe und sie ist isomorph zum amalgamierten Produkt

${\displaystyle G=G_{1}*_{H}G_{2}}$ .

Zweiter Kombinationssatz

Sei ${\displaystyle G_{0}}$ eine Kleinsche Gruppe und seien ${\displaystyle H_{1},H_{2}\subset G}$ quasifuchssche Gruppen, die zwei verschiedene Zusammenhangskomponenten ${\displaystyle \Omega _{1},\Omega _{2}}$ des Diskontinuitätsbereiches ${\displaystyle \Omega (G_{0})\subset S_{\infty }^{2}}$ stabilisieren. Sei ${\displaystyle A\in Isom(H^{3})}$ so dass

${\displaystyle AH_{1}A^{-1}=H_{2}}$

einen Isomorphismus von ${\displaystyle H_{1}}$ nach ${\displaystyle H_{2}}$ induziert und

${\displaystyle A(\Omega _{1})=S_{\infty }^{2}\setminus cl(\Omega _{2}).}$

Dann ist die von ${\displaystyle G_{0}}$ und ${\displaystyle A}$ erzeugte Untergruppe eine diskrete Gruppe und sie ist isomorph zur HNN-Erweiterung

${\displaystyle G=G_{0}*_{A}}$ .

Literatur

• Bernard Maskit: Kleinian groups. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 287. Springer-Verlag, Berlin, 1988. ISBN 3-540-17746-9 (Kapitel VII)
• Michael Kapovich: Hyperbolic manifolds and discrete groups. Reprint of the 2001 edition. Modern Birkhäuser Classics. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 2009. ISBN 978-0-8176-4912-8 (Kapitel 4.18)