Kombinationssatz von Klein

Der Kombinationssatz v​on Klein i​st ein Lehrsatz a​us dem mathematischen Gebiet d​er Fuchsschen u​nd Kleinschen Gruppen.

Er g​ibt Bedingungen für d​ie Konstruierbarkeit diskreter Gruppen hyperbolischer Isometrien a​ls freie Produkte u​nd wird beispielsweise b​ei der Konstruktion v​on Schottky-Gruppen verwendet.

Er w​urde 1883 v​on Felix Klein bewiesen. Gelegentlich w​ird auch d​er allgemeinere Kombinationssatz v​on Maskit a​ls Kombinationssatz v​on Klein-Maskit bezeichnet.

Kombinationssatz

Der Kombinationssatz hat zwei Formulierungen, eine für Isometrien des hyperbolischen Raumes und eine äquivalente für Möbiustransformationen. (Die letztere war ursprünglich von Felix Klein bewiesen worden.) Die Äquivalenz der beiden Aussagen erhält man dadurch, dass Isometrien des 3-dimensionalen hyperbolischen Raumes ${\displaystyle H^{3}}$ als Möbiustransformationen auf der "Sphäre im Unendlichen" ${\displaystyle S_{\infty }^{2}=\partial _{\infty }H^{3}}$ wirken.

Kombinationssatz für diskrete Gruppen hyperbolischer Isometrien

Seien ${\displaystyle G_{1},G_{2}}$ zwei diskrete Untergruppen von ${\displaystyle Isom^{+}(H^{n})}$ (der Gruppe der orientierungserhaltenden Isometrien des hyperbolischen Raumes) mit Fundamentalbereichen ${\displaystyle D_{1},D_{2}\subset H^{n}}$, die die Bedingungen

${\displaystyle int(D_{1})\supset ext(D_{2}),int(D_{2})\supset ext(D_{1})}$

erfüllen. Dann ist die von ${\displaystyle G_{1}}$ und ${\displaystyle G_{2}}$ erzeugte Untergruppe ${\displaystyle G\subset Isom(H^{n})}$ eine diskrete Untergruppe und isomorph zum freien Produkt

${\displaystyle G=G_{1}*G_{2}.}$

Ein Fundamentalbereich für die Wirkung von ${\displaystyle G}$ auf ${\displaystyle H^{n}}$ ist

${\displaystyle D=D_{1}\cap D_{2}}$.

Kombinationssatz für Möbiustransformationen

Seien ${\displaystyle G_{1},G_{2}}$ zwei diskrete Gruppen von Möbiustransformationen, also diskrete Untergruppen von ${\displaystyle PSL(2,\mathbb {C} )}$ mit Fundamentalbereichen ${\displaystyle D_{1},D_{2}\subset S_{\infty }^{2}}$, die die Bedingungen[1]

${\displaystyle int(D_{1})\supset ext(D_{2}),int(D_{2})\supset ext(D_{1})}$

erfüllen. Dann ist die von ${\displaystyle G_{1}}$ und ${\displaystyle G_{2}}$ erzeugte Untergruppe ${\displaystyle G\subset PSL(2,\mathbb {C} )}$ eine diskrete Untergruppe und isomorph zum freien Produkt

${\displaystyle G=G_{1}*G_{2}.}$

Ein Fundamentalbereich für die Wirkung von ${\displaystyle D}$ auf ${\displaystyle S_{\infty }^{2}}$ ist

${\displaystyle D=D_{1}\cap D_{2}}$.

Beweisidee

Für jeden Punkt ${\displaystyle x\in D}$ und jedes reduzierte Wort

${\displaystyle g=g_{1}g_{2}\ldots g_{n-1}g_{n}}$

mit ${\displaystyle g_{2k-1}\in G_{1},g_{2k}\in G_{2}}$ zeigt man per vollständiger Induktion ${\displaystyle gx\not \in D}$. Für einen detaillierten Beweis einer etwas allgemeineren Aussage siehe: [2].

Anwendung: Schottky-Gruppen

→ Hauptartikel: Schottky-Gruppe

Konstruktion von Schottky-Gruppen: Seien ${\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{k}\in PSL(2,\mathbb {C} )}$ Möbiustransformationen und ${\displaystyle A_{1},B_{1},\ldots ,A_{k},B_{k}\subset S_{\infty }^{2}}$ Jordankurven, so dass für ${\displaystyle i=1,\ldots ,k}$ jeweils ${\displaystyle g_{i}}$ das Innere[3] von ${\displaystyle A_{i}}$ auf das Äußere von ${\displaystyle B_{i}}$ abbildet. Dann ist die von ${\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{k}}$ erzeugte Gruppe diskret und eine freie Gruppe. (So konstruierte Gruppen werden als Schottky-Gruppen bezeichnet.)

Obige Konstruktion lässt s​ich auch o​hne den allgemeinen Kombinationssatz a​us dem Poincaréschen Polyedersatz herleiten. Mit d​em Kombinationssatz k​ann man a​ber die folgende stärkere Aussage beweisen: Jede nichtelementare (nicht notwendig diskrete) Gruppe enthält e​ine nichtelementare Schottky-Gruppe.

Schottky-Gruppen s​ind konvex-kokompakt. Ihre Limesmenge i​st eine Cantormenge.

Literatur

• Felix Klein: Neue Beiträge zur Riemann'schen Functionentheorie, Math. Ann. 21 (1883), 141–218.
• R. Fricke und F. Klein: Vorlesungen über die Theorie der Automorphen Functionen. I, Teubner, Leipzig, 1897.
• L. R. Ford: Automorphic functions, 1st ed., McGraw-Hill, New York, 1929.
• Bernard Maskit: Kleinian groups. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 287. Springer-Verlag, Berlin, 1988. ISBN 3-540-17746-9

Einzelnachweise

1. Für eine abgeschlossene Teilmenge ${\displaystyle D\subset S^{2}}$ bezeichnen wir mit ${\displaystyle int(D)}$ den offenen Kern und mit ${\displaystyle ext(D):=S^{2}\setminus D}$ das Komplement von ${\displaystyle D}$.
2. Maskit, On Klein's combination theorem, Trans. Amer. Math. Soc. 120, 499–509 (1965) online
3. Jede Jordankurve zerlegt ${\displaystyle S_{\infty }^{2}}$ in zwei Zusammenhangskomponenten (Jordanscher Kurvensatz). Wir wählen einen (beliebigen) festen Punkt ${\displaystyle p\in S_{\infty }^{2}}$ und definieren dann das "Innere" einer Jordankurve als diejenige Zusammenhangskomponente, die ${\displaystyle p}$ enthält, das Äußere als das Komplement.