Kobordismuskategorie

In d​er Mathematik i​st die Kobordismuskategorie e​in Begriff d​er algebraischen Topologie.

Es handelt sich um Kategorien ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{d}}$ für ${\displaystyle d\in \mathbb {N} }$, deren Objekte die geschlossenen ${\displaystyle (d-1)}$-dimensionalen glatten Untermannigfaltigkeiten eines hoch-dimensionalen euklidischen Raums und deren Morphismen die ${\displaystyle d}$-dimensionalen eingebetteten Kobordismen mit Kragenrand sind.

Definition der Kategorie

Ein Objekt von ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{d}}$ ist ein Paar ${\displaystyle (M,a)}$ mit ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$, so dass ${\displaystyle M}$ eine geschlossene, ${\displaystyle (d-1)}$-dimensionale ${\displaystyle C^{\infty }}$-Untermannigfaltigkeit

${\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{d-1+\infty }:=\operatorname {colim} _{n\to \infty }\mathbb {R} ^{d-1+n}}$

ist.

Der Identitäts-Morphismus von ${\displaystyle (M,a)}$ ist das Tripel ${\displaystyle (\left\{a\right\}\times M,a,a)}$. Ein von der Identität verschiedener Morphismus von ${\displaystyle (M_{0},a_{0})}$ nach ${\displaystyle (M_{1},a_{1})}$ ist ein Tripel ${\displaystyle (W,a_{0},a_{1})}$ aus reellen Zahlen ${\displaystyle a_{0},a_{1}}$ mit ${\displaystyle a_{0}<a_{1}}$ und einer ${\displaystyle d}$-dimensionalen kompakten ${\displaystyle C^{\infty }}$-Untermannigfaltigkeit

${\displaystyle W\subset \left[a_{0},a_{1}\right]\times \mathbb {R} ^{d-1+\infty }}$,

so dass es ein ${\displaystyle \epsilon >0}$ gibt mit

${\displaystyle W\cap (\left[a_{0},a_{0}+\epsilon \right)\times \mathbb {R} ^{d-1+\infty })=\left[a_{0},a_{0}+\epsilon \right)\times M_{0}}$,

${\displaystyle W\cap (\left(a_{1}-\epsilon ,a_{1}\right]\times \mathbb {R} ^{d-1+\infty })=\left(a_{1}-\epsilon ,a_{1}\right]\times M_{1}}$,

${\displaystyle \partial W=W\cap (\left\{a_{0},a_{1}\right\}\times \mathbb {R} ^{d-1+\infty })}$.

Die Komposition zweier Morphismen w​ird durch d​ie Vereinigung

${\displaystyle (W_{1},a_{0},a_{1})\circ (W_{2},a_{1},a_{2}):=(W_{1}\cup W_{2},a_{0},a_{2})}$

von Teilmengen in ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{d-1+\infty }}$ definiert.

Topologische Anreicherung der Kategorie

Objekte u​nd Morphismen erhalten e​ine Topologie d​urch die Identifikationen

${\displaystyle \operatorname {ob} {\mathcal {C}}_{d}\cong \mathbb {R} \times \bigcup _{M}\operatorname {Emb} (M,\mathbb {R} ^{d-1+\infty })/\operatorname {Diff} (M)}$

und

${\displaystyle \operatorname {mor} {\mathcal {C}}_{d}\cong \operatorname {ob} {\mathcal {C}}_{d}\cup \bigcup _{W}\mathbb {R} _{+}^{2}\times \operatorname {Emb} (W,\left[0,1\right]\times \mathbb {R} ^{d-1+\infty })/\operatorname {Diff} (W)}$.

Dabei bezeichnet ${\displaystyle \operatorname {Emb} (.,\mathbb {R} ^{d-1+\infty })}$ den Raum der Einbettungen in den ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d-1+\infty }}$ mit der ${\displaystyle C^{\infty }}$-Topologie. Die Diffeomorphismengruppe ${\displaystyle Diff(.)}$ wirkt durch Komposition von Einbettungen mit Diffeomorphismen. Der Faktorraum ${\displaystyle \operatorname {Emb} (.,\mathbb {R} ^{d-1+\infty })/\operatorname {Diff} (.)}$ wird mit der Quotiententopologie versehen.

Literatur

• Galatius, Madsen, Tillmann, Weiss: The homotopy type of the cobordism category, Acta Math. 202 (2009), no. 2, S. 195–239.
• Galatius, Randal-Williams: Stable moduli spaces of high-dimensional manifolds, Acta Math. 212 (2014), no. 2, S. 257–377.