Kanalfläche

Eine Kanalfläche i​st die einhüllende Fläche e​iner Kugelschar, d​eren Mittelpunkte a​uf einer vorgegebenen Kurve, d​er Leitkurve o​der Direktrix, liegen. Sind d​ie Radien d​er Kugel konstant, s​o nennt m​an die Kanalfläche e​ine Rohrfläche. Einfache Beispiele sind

• Kreis-Zylinder (Rohrfläche, Leitkurve ist eine Gerade (Zylinderachse), Kugelradien sind konstant)
• Torus (Rohrfläche, Leitkurve ist ein Kreis, Kugelradien sind konstant)
• Kreis-Kegel (Kanalfläche, Leitkurve ist eine Gerade (Kegelachse), Kugelradien nicht konstant)
• Rotationsfläche (Kanalfläche, Leitkurve ist eine Gerade).

Kanalfläche: Leitkurve ist eine Helix, mit erzeugenden Kugeln

Rohrfläche: Leitkurve ist eine Helix, mit erzeugenden Kugeln

Rohrfläche: Leitkurve ist eine Helix

Kanalflächen spielen i​n der

• darstellenden Geometrie eine wichtige Rolle, da ihr Umriss bei einer senkrechten Parallelprojektion als Einhüllende von Kreisen konstruiert werden kann. Siehe Umrisskonstruktion.
• Technik eine wichtige Rolle als Übergangsflächen zwischen Zylindern.

Einhüllende Fläche einer impliziten Flächenschar

Gegeben s​ei die Flächenschar

${\displaystyle \Phi _{c}:f({\mathbf {x} },c)=0,c\in [c_{1},c_{2}]}$.

Die Schnittkurve zweier benachbarter Flächen ${\displaystyle \Phi _{c}}$ und ${\displaystyle \Phi _{c+\Delta c}}$ erfüllt die Gleichungen

${\displaystyle f({\mathbf {x} },c)=0}$ und ${\displaystyle f({\mathbf {x} },c+\Delta c)=0}$.

Für den Grenzübergang ${\displaystyle \Delta c\to 0}$ ergibt sich ${\displaystyle f_{c}({\mathbf {x} },c)=\lim _{\Delta \to \ 0}{\frac {f({\mathbf {x} },c)-f({\mathbf {x} },c+\Delta c)}{\Delta c}}=0}$. Die letzte Gleichung ist Grund für die folgende Definition

• Es sei ${\displaystyle \Phi _{c}:f({\mathbf {x} },c)=0,c\in [c_{1},c_{2}]}$ eine 1-Parameter-Schar von regulären impliziten ${\displaystyle C^{2}}$ - Flächen (${\displaystyle f}$ ist wenigstens 2-mal stetig differenzierbar).

Die d​urch die beiden Gleichungen

• ${\displaystyle f({\mathbf {x} },c)=0,\quad f_{c}({\mathbf {x} },c)=0}$

definierte Fläche heißt d​ie Einhüllende d​er gegebenen Flächenschar[1].

Kanalfläche

Es sei ${\displaystyle \Gamma$ :{\mathbf {x} }={\mathbf {c} }(u)=(a(u),b(u),c(u))^{\top }} eine reguläre Raumkurve und ${\displaystyle r(t)}$ eine ${\displaystyle C^{1}}$ -Funktion mit ${\displaystyle r>0}$ und ${\displaystyle |{\dot {r}}|<\|{\dot {\mathbf {c} }}\|}$. Die letzte Bedingung bedeutet, dass die Kurve weniger stark gekrümmt ist als die zugehörige Kugel.

Die Einhüllende d​er einparametrigen Schar v​on Kugeln

${\displaystyle f({\mathbf {x} };u):={\big (}{\mathbf {x} }-{\mathbf {c} }(u){\big )}^{2}-r(u)^{2}=0}$

heißt Kanalfläche und ${\displaystyle \Gamma }$ ihre Leitkurve oder Direktrix. Falls die Radiusfunktion konstant ist, heißt die Kanalfläche Rohrfläche.

Parameterdarstellung einer Kanalfläche

Die Einhüllenden-Bedingung obiger Kanalfläche

${\displaystyle f_{u}({\mathbf {x} },u):=2{\Big (}{\big (}{\mathbf {x} }-{\mathbf {c} }(u){\big )}{\dot {\mathbf {c} }}(u)-r(u){\dot {r}}(u){\Big )}=0}$,

ist für jeden Parameterwert ${\displaystyle u}$ eine Ebenengleichung einer Ebene, die senkrecht zur Tangente ${\displaystyle {\dot {\mathbf {c} }}(u)}$ der Leitkurve ist. Also ist die Einhüllende die Vereinigung von Kreisen. Diese Beobachtung ist der Schlüssel zu einer Parameterdarstellung der Kanalfläche. Der Mittelpunkt des Kreises (für einen Parameter ${\displaystyle u}$) hat den Abstand ${\displaystyle d:={\frac {r{\dot {r}}}{\|{\dot {\mathbf {c} }}\|}}<r}$ (siehe obige Bedingung) vom Kugelmittelpunkt und den Radius ${\displaystyle {\sqrt {r^{2}-d^{2}}}}$.

• ${\displaystyle {\mathbf {x} }={\mathbf {x} }(u,v):={\mathbf {c} }(u)-{\frac {r(u){\dot {r}}(u)}{\|{\dot {\mathbf {c} }}(u)\|^{2}}}{\dot {\mathbf {c} }}(u)+{\frac {r(u){\sqrt {\|{\dot {\mathbf {c} }}(u)\|^{2}-{\dot {r}}^{2}}}}{\|{\dot {\mathbf {c} }}(u)\|}}{\big (}{\mathbf {e} }_{1}(u)\cos(v)+{\mathbf {e} }_{2}(u)\sin(v){\big )},}$

wobei die Vektoren ${\displaystyle {\mathbf {e} }_{1},{\mathbf {e} }_{2}}$ zusammen mit dem Tangentenvektor ${\displaystyle {\dot {\mathbf {c} }}}$ eine Orthonormalbasis bilden, ist eine Parameterdarstellung der Kanalfläche[2].

Für ${\displaystyle {\dot {r}}=0}$ ergibt sich die Parameterdarstellung einer Rohrfläche:

• ${\displaystyle {\mathbf {x} }={\mathbf {x} }(u,v):={\mathbf {c} }(u)+r{\big (}{\mathbf {e} }_{1}(u)\cos(v)+{\mathbf {e} }_{2}(u)\sin(v){\big )}.}$

Rohr-Knoten

Kanalfläche: Dupinsche Zyklide

Beispiele

a) Das erste Bild (von oben) zeigt eine Kanalfläche mit

1. der Helix (Schraublinie) ${\displaystyle (\cos(u),\sin(u),0.25u),u\in [0,4]}$ als Leitkurve und
2. der Radiusfunktion ${\displaystyle r(u):=0.2+0.8u/2\pi }$.
3. Die Wahl für ${\displaystyle {\mathbf {e} }_{1},{\mathbf {e} }_{2}}$ ist:

${\displaystyle {\mathbf {e} }_{1}:=({\dot {b}},-{\dot {a}},0)/\|\cdots \|,\ {\mathbf {e} }_{2}:=({\mathbf {e} }_{1}\times {\dot {\mathbf {c} }})/\|\cdots \|}$.

b) Im zweiten Bild ist der Radius konstant: ${\displaystyle r(u):=0.2}$, d. h. die Kanalfläche ist eine Rohrfläche.

c) Im dritten Bild hat die Rohrfläche aus b) Parameter ${\displaystyle u\in [0,7.5]}$.

d) Das vierte Bild zeigt einen Rohrknoten. Die Leitkurve verläuft auf einem Torus.

e) Das fünfte Bild zeigt eine Dupinsche Zyklide (Kanalfläche).

Bemerkung: Eine Böschungsfläche w​ird nach d​em gleichen Prinzip erzeugt. Die erzeugenden Flächenscharen s​ind dort Kegel (Schüttkegel), d​eren Spitzen a​uf der Leitkurve liegen.

Einzelnachweise

1. Geometry and Algorithms for COMPUTER AIDED DESIGN, S. 115
2. Geometry and Algorithms for COMPUTER AIDED DESIGN, S. 117

Literatur

• Hilbert, David; Cohn-Vossen, Stephan: Geometry and the Imagination, 2nd ed., 1952, Chelsea, S. 219, ISBN 0-8284-1087-9