Hyperbolische Dehn-Chirurgie

In d​er Mathematik i​st hyperbolische Dehn-Chirurgie e​in Verfahren z​ur Konstruktion hyperbolischer 3-Mannigfaltigkeiten. Alle hyperbolischen 3-Mannigfaltigkeiten lassen s​ich mit dieser Konstruktion gewinnen.

Die Umgebung eines Knotens ist ein verknoteter Volltorus.

Dehn-Chirurgie

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Als Dehn-Chirurgie bezeichnet man die Operation, bei der die Umgebung eines Knotens aus der drei-dimensionalen Sphäre ausgeschnitten und der ausgeschnittene Volltorus mittels einer Verklebeabbildung des Torus anders wieder eingeklebt wird. Man spricht von einer (q/p)-Chirurgie, wenn dabei der Meridian des eingeklebten Volltorus auf eine Kurve in der Homologieklasse von p.Longitude+q.Meridian der ursprünglichen Knotenumgebung abgebildet wird. Entsprechend kann man (q₁/p₁,...,q_k/p_k)-Chirurgien an ${\displaystyle k}$-komponentigen Verschlingungen definieren.

Satz von Thurston über hyperbolische Dehn-Chirurgie

Wenn ein Verschlingungskomplement ${\displaystyle M\setminus K}$ eine vollständige hyperbolische Metrik von endlichem Volumen trägt, dann sind fast alle durch Dehn-Chirurgie an ${\displaystyle K}$ erzeugten 3-Mannigfaltigkeiten ebenfalls hyperbolisch.[1]

Beweisidee

Der Beweis verwendet, d​ass die komplexe Dimension d​er Charaktervarietät e​iner Verschlingung d​ie Anzahl d​er Komponenten d​er Verschlingung ist. (Im Fall e​ines Knotens a​lso 1.) Parametrisiert w​ird sie d​urch die Spuren d​er Bilder d​er Meridiane u​nd diese Parametrisierung i​st holomorph, insbesondere w​ird eine offene Menge v​on Parametern angenommen.

Für die vollständige hyperbolische Metrik auf ${\displaystyle M\setminus K}$ sind die Monodromien der Meridiane eine parabolische Isometrie der Spur 2. Hingegen entsprechen hyperbolische Metriken auf der durch Chirurgie erhaltenen Mannigfaltigkeit unvollständigen hyperbolischen Metriken auf ${\displaystyle M\setminus K}$, bei denen die Monodromie der Meridiane eine elliptische Isometrie ist, deren Spur für ${\displaystyle p,q\to \infty }$ gegen 2 geht.

Nach Mostows Starrheitssatz gibt es nur eine vollständige hyperbolische Metrik auf ${\displaystyle M\setminus K}$. Es gibt also genau eine Darstellung mit Parameter (2,2,...,2), woraus sich mit der Holomorphie der Parametrisierung herleiten lässt, dass alle nahegelegenen Spur-Parameter genau einmal realisiert werden müssen. Insbesondere gibt es für hinreichend große p,q Parameter, welche die q/p-Dehn-Chirurgie realisieren.

Ausnahmen

Für den Achterknoten gibt es 10 exzeptionelle (das heißt: nicht-hyperbolische) Dehn-Chirurgien. Lackenby und Meyerhoff haben bewiesen, dass für jeden Knoten die Anzahl exzeptioneller Dehn-Chirurgien höchstens 10 ist,[2]. Es gibt zehn exzeptionelle Dehn-Chirurgien für den Achterknoten und Gabai et al. haben bewiesen, dass man für jeden anderen Knoten höchstens 9 exzeptionelle Dehn-Chirurgien hat[3]. Für den (-2,3,7)-Brezelknoten gibt es 7 exzeptionelle Dehn-Chirurgien und es wird vermutet, dass man für alle weiteren Knoten höchstens 6 exzeptionelle Dehn-Chirurgien hat.

Volumen

Das Volumen e​iner hyperbolischen Dehn-Füllung lässt s​ich berechnen m​it Hilfe d​er quadratischen Form

${\displaystyle Q(p,q)={\frac {{\mbox{Länge}}(pm+ql)}{{\mbox{Fläche}}(T)}}}$,

wobei ${\displaystyle m}$ und ${\displaystyle l}$ Meridian bzw. Longitude und ${\displaystyle T}$ den euklidischen Torus bezeichnet, den man (bis auf Ähnlichkeit eindeutig) durch die hyperbolische Struktur auf ${\displaystyle M}$ erhält. Damit hat man für das hyperbolische Volumen der (q₁/p₁,...,q_k/p_k)-Chirurgie die Formel[4]

${\displaystyle Vol(M_{p_{1}/q_{1},\ldots ,p_{k}/q_{k}})=Vol(M)-\pi ^{2}\sum _{i=1}^{k}{\frac {1}{Q_{i}(p_{i},q_{i})}}+O(\sum _{i=1}^{k}{\frac {1}{p_{i}^{4}+q_{i}^{4}}}).}$

Einzelnachweise

1. Thurston, W.P.: The Geometry and Topology of Three-Manifolds
2. Lackenby, Marc; Meyerhoff, Robert: The maximal number of exceptional Dehn surgeries. Invent. Math. 191 (2013), no. 2, 341–382.pdf
3. David Gabai, Robert Haraway, Robert Meyerhoff, Nathaniel Thurston, Andrew Yarmola: Hyperbolic 3-manifolds of low cusp volume, ArXiv
4. W. Neumann, D. Zagier: Volumes of hyperbolic three-manifolds, Topology 24, 307–332 (1985)