Gromov-Hausdorff-Metrik

In d​er Mathematik bezeichnet d​ie Gromov-Hausdorff-Metrik, benannt n​ach den Mathematikern Michail Leonidowitsch Gromow u​nd Felix Hausdorff, e​ine Metrik a​uf der Klasse d​er Isometrieklassen v​on kompakten metrischen Räumen. Anschaulich i​st der Gromov-Hausdorff-Abstand u​mso geringer, j​e besser s​ich die gegebenen Räume miteinander i​n Deckung bringen lassen.

Die Konvergenz bezüglich d​er Gromov-Hausdorff-Metrik heißt Gromov-Hausdorff-Konvergenz.

Definition

Der Gromov-Hausdorff-Abstand ist der kleinstmögliche Hausdorff-Abstand, den die gegebenen Räume bei einer Einbettung in einen metrischen Raum haben können. Seien also ${\displaystyle X,Y}$ kompakte metrische Räume. Dann ist der Gromov-Hausdorff-Abstand ${\displaystyle d_{GH}(X,Y)}$ definiert als:

${\displaystyle d_{\mathrm {G} H}(X,Y):=\inf\{d_{\mathrm {H} }(f(X),g(Y))\mid f:X\rightarrow Z,\;g:Y\rightarrow Z{\text{ isometrische Einbettungen}}\}}$

wobei

${\displaystyle d_{H}\,(f(X),g(Y))}$ den Hausdorff-Abstand von ${\displaystyle f(X)}$ und ${\displaystyle g(Y)}$ in ${\displaystyle Z}$ bezeichnet.

Dieser i​st definiert als:

${\displaystyle d_{\mathrm {H} }(X,Y):=\max\{\,\sup _{x\in X}\inf _{y\in Y}d(x,y),\,\sup _{y\in Y}\inf _{x\in X}d(x,y)\,\}{\mbox{.}}\!}$

Der Grenzwert e​iner im Sinne d​er Gromov-Hausdorff-Metrik konvergenten Folge w​ird als Gromov-Hausdorff-Grenzwert d​er Folge bezeichnet, m​an spricht i​n diesem Fall v​on Gromov-Hausdorff-Konvergenz.

Punktierte Gromov-Hausdorff-Konvergenz

Die punktierte Gromov-Hausdorff-Konvergenz i​st das angemessene Analogon z​ur Gromov-Hausdorff-Konvergenz, w​enn man nicht-kompakte metrische Räume betrachtet.

Ist ${\displaystyle (X_{n},p_{n})}$ eine Folge lokalkompakter vollständiger metrischer Räume, deren Metrik intrinsisch ist, so heißt diese gegen ${\displaystyle (Y,q)}$ konvergent, wenn für jedes ${\displaystyle R>0}$ die abgeschlossenen ${\displaystyle R}$-Bälle um ${\displaystyle p_{n}}$ im Gromov-Hausdorff-Sinne gegen den abgeschlossenen ${\displaystyle R}$-Ball um ${\displaystyle q}$ konvergieren.

Gromov-Hausdorff-Konvergenz von Mannigfaltigkeiten

Der Grenzwert einer Gromov-Hausdorff-konvergenten Folge ${\displaystyle n}$-dimensionaler Riemannscher Mannigfaltigkeiten ${\displaystyle (M_{i},g_{i})}$ muss im Allgemeinen keine Mannigfaltigkeit sein.

Falls die Mannigfaltigkeiten gleichmäßig nach unten beschränkte Krümmung und gleichmäßig nach oben beschränkten Durchmesser haben, folgt aber aus einem Satz von Gromov, dass der Grenzwert ein Alexandrov-Raum mit denselben Krümmungs- und Durchmesserschranken und der Dimension kleiner oder gleich ${\displaystyle n}$ ist.

Falls (unter der Voraussetzung gleichmäßig nach unten beschränkter Krümmung) der Grenzwert ${\displaystyle M}$ eine ${\displaystyle n}$-dimensionale Mannigfaltigkeit ist, dann müssen fast alle ${\displaystyle M_{i}}$ zu ${\displaystyle M}$ homöomorph gewesen sein – das ist der Perelman'sche Stabilitätssatz.

Allgemeiner, falls (wieder unter der Voraussetzung gleichmäßig nach unten beschränkter Krümmung) der Grenzwert eine Riemannsche Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ beliebiger Dimension ist, dann müssen fast alle ${\displaystyle M_{i}}$ Faserbündel über ${\displaystyle M}$ gewesen sein (Fukaya-Yamaguchi, V.Kapovitch-Wilking).

Literatur

• M. Gromov. Metric structures for Riemannian and non-Riemannian spaces, Birkhäuser (1999). ISBN 0-8176-3898-9.