Hadamard-Transformation

Die Hadamard-Transformation, auch bezeichnet als Walsh–Hadamard-Transformation, Hadamard–Rademacher–Walsh-Transformation, Walsh-Transformation und als Walsh–Fourier-Transformation, ist eine diskrete Transformation aus dem Bereich der Fourier-Analysis. Sie ist eine orthogonal-symmetrische, selbstinverse und lineare Transformation und von der Struktur her verwandt mit der diskreten Fourier-Transformation (DFT). Die Hadamard-Transformation bildet einen Satz von ${\displaystyle 2^{m}}$ reellen oder komplexen Eingangswerten in einen Bildbereich aus überlagerten Walsh-Funktionen, dem Walsh-Spektrum, ab.[1] Die Transformation ist benannt nach den Mathematikern Jacques Hadamard, Joseph L. Walsh und Hans Rademacher.

Die Anwendungen d​er Hadamard-Transformation liegen i​m Bereich d​er digitalen Signalverarbeitung u​nd Datenkompression w​ie beispielsweise b​ei JPEG XR u​nd H.264/MPEG-4 AVC.

Definition

Das Produkt einer binären Eingangsfolge und einer ${\displaystyle 2^{m}\times 2^{m}}$-Hadamard-Matrix ergibt das Walsh-Spektrum:
(1,0,1,0,0,1,1,0) * H(8) = (4,2,0,−2,0,2,0,2)

Die Hadamard-Transformation ${\displaystyle \operatorname {H} _{m}}$ wird aus einer ${\displaystyle 2^{m}\times 2^{m}}$-Hadamard-Matrix, skaliert mit einem Normalisierungsfaktor, gebildet, welche eine Eingangsfolge ${\displaystyle (x_{n})}$ der Länge ${\displaystyle 2^{m}}$ mittels einer Matrix-Vektor-Multiplikation in eine Ausgangsfolge ${\displaystyle (X_{k})}$ transformiert.

Die Hadamard-Transformation kann verschiedenartig definiert werden, unter anderem rekursiv, wobei von einer ${\displaystyle 1\times 1}$-Hadamard-Transformation ${\displaystyle \operatorname {H} _{0}}$ mit der Identität ${\displaystyle \operatorname {H} _{0}=1}$ ausgegangen wird und ${\displaystyle \operatorname {H} _{m}}$ für ${\displaystyle m>0}$ festgelegt wird zu:

${\displaystyle \operatorname {H} _{m}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}\operatorname {H} _{m-1}&\operatorname {H} _{m-1}\\\operatorname {H} _{m-1}&-\operatorname {H} _{m-1}\end{pmatrix}}}$

mit dem Normalisierungsfaktor ${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}}$, der mitunter auch weggelassen wird.

Analog wie bei der diskreten Fourier-Transformation (DFT) und der optimierten schnellen Fourier-Transformation (FFT) existiert auch eine schnelle Hadamard-Transformation, welche die Anzahl ${\displaystyle n}$ der Operationen auf ${\displaystyle n\cdot \operatorname {log} (n)}$ mit ${\displaystyle n=2^{m}}$ reduziert.

Zusammenhang zur diskreten Fouriertransformation

Wie auch die Hadamard-Transformation lässt sich die diskrete Fourier-Transformation als Produkt einer Transformationsmatrix und eines Eingangsvektors formulieren. Sollen per DFT ${\displaystyle N=2}$ Elemente im Zeitbereich in den Spektralbereich transformiert werden, so lautet die DFT-Matrix

${\displaystyle F_{2}={\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}}$.

Die Hadamard-Matrix ohne Skalierungsfaktor ist dann als Kronecker-Produkt aus einzelnen ${\displaystyle 2\times 2}$ DFT-Matrizen konstruierbar:

${\displaystyle H_{2^{k}}={\underset {k{\text{ mal}}}{\underbrace {{\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}\otimes \ldots \otimes {\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}} }}}$.

Literatur

• Kathy J. Horadam: Hadamard Matrices and their Applications. Princeton University Press, Princeton NJ u. a. 2007, ISBN 978-0-691-11921-2.

Einzelnachweise

1. Henry O. Kunz: On the Equivalence Between One-Dimensional Discrete Walsh-Hadamard and Multidimensional Discrete Fourier Transforms. In: IEEE Transactions on Computers. Bd. 28, Nr. 3, 1979, ISSN 0018-9340, S. 267–268, doi:10.1109/TC.1979.1675334.