Hölderraum

Der Hölderraum (nach Otto Hölder) i​st in d​er Mathematik e​in Banachraum v​on Funktionen, d​er in d​er Theorie d​er partiellen Differentialgleichungen e​ine Rolle spielt. Dort s​ind Hölderräume e​ine natürliche Wahl, u​m Existenztheorie betreiben z​u können.

Definition

Sei . Der Hölderraum ist die Menge aller Funktionen mit , für die folgende Norm endlich ist:

.

Hier bezeichnet

die Supremumsnorm und

die Hölder-Konstante. Für schreibt man auch .[1]

Der Hölderraum ist also der Raum der -mal stetig differenzierbaren, beschränkten Funktionen von nach , deren -ten partiellen Ableitungen hölderstetig zu einer Konstanten und ebenfalls beschränkt sind. Im Spezialfall spricht man meistens von Lipschitzstetigkeit.

Satz von Kellogg

Sei und ein beschränktes Gebiet mit -Rand sowie ein streng elliptischer Operator in mit Koeffizienten in , d. h.

,

wobei in liegen und die Matrix die Elliptizitätsbedingung

für alle

mit einer von unabhängigen Konstanten erfüllt. Weiter sei die Funktion nichtpositiv sowie und . Dann besitzt die Gleichung

eine eindeutige klassische Lösung .

Da die obige Gleichung keine klassische Lösung besitzt, falls von lediglich Stetigkeit gefordert wird, ist die Kontrolle des Stetigkeitsmoduls von Relevanz für die Existenztheorie in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen. Hölderräume sind eine Klasse von Funktionen, innerhalb derer klassische Existenztheorie betrieben werden kann.

Literatur

  • H. W. Alt: Lineare Funktionalanalysis. 4. Auflage, Springer-Verlag, ISBN 3-540-43947-1.
  • D. Gilbarg, N. S. Trudinger: Elliptic Partial Differential Equations of Second Order. In: Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Band 224, Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg/New York 1977, ISBN 3-540-08007-4.

Einzelnachweise

  1. H. W. Alt: Lineare Funktionalanalysis. 6. Auflage. Springer-Verlag, ISBN 978-3-642-22260-3, S. 46.
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