Stetigkeitsmodul

Der Stetigkeitsmodul i​st ein Begriff a​us dem Gebiet d​er mathematischen Analysis. Er w​urde 1910 v​on Henri Lebesgue eingeführt u​nd wird u​nter anderem i​n der Approximationstheorie angewandt, w​o er d​azu dient, e​inen Zusammenhang zwischen d​er Glattheit e​iner Funktion u​nd der Approximationsgeschwindigkeit b​ei der Approximation d​urch Polynome herzustellen.

Definition

Der Stetigkeitsmodul einer Funktion ${\displaystyle f}$ ist die durch

${\displaystyle \epsilon _{f}(\delta ):=\sup \left\{d(f(x),f(y))\colon d(x,y)\leq \delta \right\}}$

definierte Funktion ${\displaystyle \epsilon _{f}\colon \left[0,\infty \right)\to \mathbb {R} }$.

Eigenschaften

• Der Stetigkeitsmodul ist monoton wachsend mit ${\displaystyle \epsilon _{f}(0)=0}$.
• Der Stetigkeitsmodul ist subadditiv: ${\displaystyle \epsilon _{f}(\delta _{1}+\delta _{2})\leq \epsilon _{f}(\delta _{1})+\epsilon _{f}(\delta _{2})}$ für alle ${\displaystyle \delta _{1},\delta _{2}\geq 0}$.
• ${\displaystyle f}$ ist genau dann gleichmäßig stetig, wenn ${\displaystyle \textstyle \lim _{\delta \to 0}\epsilon _{f}(\delta )=0}$ gilt.
• ${\displaystyle f}$ ist Lipschitz-stetig mit Lipschitz-Konstante ${\displaystyle L}$ genau dann, wenn ${\displaystyle \epsilon _{f}(\delta )\leq L\delta }$ für alle ${\displaystyle \delta }$ gilt.
• ${\displaystyle f}$ ist Hölder-stetig mit Hölder-Exponent ${\displaystyle \alpha }$ genau dann, wenn es eine Konstante ${\displaystyle C}$ mit ${\displaystyle \epsilon _{f}(\delta )\leq C\delta ^{\alpha }}$ für alle ${\displaystyle \delta }$ gibt.

Weblinks

• Lexikon der Mathematik: Stetigkeitsmodul (spektrum.de)