Gruppe mit Poincaré-Dualität

Gruppen m​it Poincaré-Dualität (engl.: Poincaré duality groups) s​ind ein Begriff a​us dem mathematischen Gebiet d​er Gruppentheorie, d​er in zahlreichen Fragen d​er algebraischen u​nd geometrischen Topologie v​on Bedeutung ist.

Eine offene Vermutung von Wall besagt, dass eine endlich präsentierte Gruppe genau dann eine ${\displaystyle n}$-dimensionale Poincaré-Dualität erfüllt, wenn sie die Fundamentalgruppe einer asphärischen geschlossenen Mannigfaltigkeit ist.

Definitionen

Eine Gruppe ${\displaystyle G}$ ist eine Gruppe mit ${\displaystyle n}$-dimensionaler Poincaré-Dualität, wenn es einen als ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-Modul zu ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ isomorphen ${\displaystyle \mathbb {Z} G}$-Modul ${\displaystyle D}$ gibt, so dass man für jeden Modul ${\displaystyle A}$ über dem Gruppenring ${\displaystyle \mathbb {Z} G}$ und alle ${\displaystyle 0\leq i\leq n}$ einen Isomorphismus

${\displaystyle H^{i}(G,A)\simeq H_{n-i}(G,D\otimes A)}$

der ${\displaystyle i}$-ten Gruppenkohomologie mit Koeffizienten in ${\displaystyle A}$ mit der ${\displaystyle (n-i)}$-ten Gruppenhomologie mit Koeffizienten in ${\displaystyle D\otimes A}$ hat.

Für endlich präsentierte Gruppen i​st diese Definition äquivalent z​u der Bedingung, dass

• ${\displaystyle H^{i}(G,\mathbb {Z} G)=0}$ für alle ${\displaystyle i\not =n}$ und
• ${\displaystyle H^{n}(G,\mathbb {Z} G)=\mathbb {Z} }$ gilt.

Ebenfalls für endlich präsentierte Gruppen besagt eine äquivalente Definition, dass eine Gruppe ${\displaystyle n}$-dimensionaler Poincaré-Dualität erfüllt, wenn sie frei und eigentlich diskontinuierlich auf einem zusammenziehbaren Zellkomplex ${\displaystyle X}$ mit ${\displaystyle H_{c}^{*}(X,\mathbb {Z} )=H_{c}^{*}(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {Z} )}$ (für die Kohomologie mit kompaktem Träger) wirkt.

Beispiele

Die Fundamentalgruppe ${\displaystyle G=\pi _{1}M}$ einer asphärischen geschlossenen ${\displaystyle n}$-dimensionalen Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ erfüllt ${\displaystyle n}$-dimensionale Poincaré-Dualität. Tatsächlich sind in diesem Fall die Homologe und Kohomologie der Gruppe ${\displaystyle G}$ isomorph zur Homologie und Kohomologie der Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ und für letztere gilt Poincaré-Dualität. Der ${\displaystyle \mathbb {Z} G}$-Modul ${\displaystyle D}$ ist in diesem Fall der Orientierungsmodul ${\displaystyle D=H^{n}(G,\mathbb {Z} G)}$, welcher im Fall orientierbarer Mannigfaltigkeiten ${\displaystyle D=\mathbb {Z} }$ mit der trivialen ${\displaystyle G}$-Wirkung ist.

Die Fundamentalgruppen geschlossener Mannigfaltigkeit s​ind stets endlich präsentiert. Es g​ibt aber a​uch Gruppen m​it Poincaré-Dualität, d​ie nicht endlich präsentiert sind.[1]

Eigenschaften

Sei ${\displaystyle G}$ eine Gruppe mit ${\displaystyle n}$-dimensionaler Poincaré-Dualität. Dann gilt

• ${\displaystyle G}$ ist endlich erzeugt
• die kohomologische Dimension von ${\displaystyle G}$ ist ${\displaystyle n}$
• ${\displaystyle G}$ ist torsionsfrei
• eine Untergruppe ${\displaystyle H\subset G}$ ist genau dann eine Gruppe mit ${\displaystyle n}$-dimensionaler Poincaré-Dualität, wenn sie endlichen Index in ${\displaystyle G}$ hat
• eine Untergruppe ${\displaystyle H\subset G}$ ist genau dann eine Gruppe mit ${\displaystyle n}$-dimensionaler Poincaré-Dualität, wenn ihre kohomologische Dimension ${\displaystyle n}$ ist
• Untergruppen von unendlichem Index haben eine kohomologische Dimension kleiner als ${\displaystyle n}$.

Literatur

• K. S. Brown, Cohomology of Groups, Springer-Verlag, New York (1982).

Weblinks

• M. Davis: Poincaré duality groups

Einzelnachweise

1. M. Bestvina, N. Brady, Morse theory and finiteness properties of groups, Invent. Math. 129 (1997), 445–470.