Alexandrov-Raum

Alexandrov-Räume sind metrische Räume, die in der Differentialgeometrie und in der Topologie von wesentlicher Bedeutung sind. Ein Alexandrov-Raum ist ein vollständiger Längenraum mit unterer Krümmungschranke und endlicher Hausdorff-Dimension. Sie sind nach Alexander Danilowitsch Alexandrow benannt.

Definition

Ein metrischer Raum ${\displaystyle X}$ heißt Längenraum, falls der Abstand je zweier Punkte in ${\displaystyle X}$ gegeben ist durch das Infimum der Längen aller (stetigen) Kurven, die diese Punkte miteinander verbinden. Eine kürzeste Geodätische ${\displaystyle {\overline {xy}}}$ zwischen zwei Punkten ${\displaystyle x,y\in X}$ ist eine nach Bogenlänge parametrisierte Kurve von ${\displaystyle x}$ nach ${\displaystyle y}$, deren Länge mit dem Abstand ${\displaystyle |xy|}$ dieser Punkte übereinstimmt.

Ein Dreieck ${\displaystyle x,y,z}$ in einem Längenraum ${\displaystyle X}$ wird bestimmt durch drei Punkte ${\displaystyle x,y,z\in X}$ und drei kürzeste Geodätische ${\displaystyle {\overline {xy}},{\overline {xz}},{\overline {yz}}}$. Bezeichnet für eine gegebene reelle Zahl ${\displaystyle \kappa }$ das Symbol ${\displaystyle S_{\kappa }}$ die zweidimensionale Fläche konstanter Krümmung ${\displaystyle \kappa }$, so versteht man unter einem ${\displaystyle (\kappa -)}$ Vergleichsdreieck für ein Dreieck ${\displaystyle xyz\in X}$ ein Dreieck ${\displaystyle {\tilde {x}}{\tilde {y}}{\tilde {z}}}$ in ${\displaystyle S_{\kappa }}$, dessen Seitenlängen mit den jeweiligen Seitenlängen des Dreiecks ${\displaystyle xyz}$ übereinstimmen. Vergleichsdreiecke existieren und sind für ${\displaystyle \kappa \leq 0}$ oder für ${\displaystyle \kappa >0}$ und

${\displaystyle |xy|+|yz|+|xz|<{\frac {2\pi }{\sqrt {\kappa }}}}$

bis a​uf Kongruenz eindeutig bestimmt.

Ein Längenraum ${\displaystyle X}$ heißt Raum mit unterer Krümmungsschranke ${\displaystyle \kappa }$, oder kurz Raum mit ${\displaystyle K\geq \kappa }$, falls jeder Punkt ${\displaystyle x\in X}$ eine Umgebung ${\displaystyle U_{x}}$ besitzt, so dass für je vier Punkte ${\displaystyle a,b,c,d\in U_{x}}$ die Vergleichswinkel von ${\displaystyle a}$ in den entsprechenden Vergleichsdreiecken in ${\displaystyle S_{\kappa }}$ die folgende Ungleichung erfüllen:

${\displaystyle {\tilde {\measuredangle }}bac+{\tilde {\measuredangle }}cad+{\tilde {\measuredangle }}dab\leq 2\pi }$

Ist der Längenraum ${\displaystyle X}$ eine eindimensionale Mannigfaltigkeit und ${\displaystyle \kappa >0}$, so verlangt man aus Konsistenzgründen zusätzlich, dass in diesem Fall der Durchmesser den Wert ${\displaystyle {\frac {\pi }{\sqrt {\kappa }}}}$ nicht überschreitet. Es gilt dann in Verallgemeinerung der Sätze von Toponogov und Bonnet-Myers:

Der Durchmesser eines vollständigen Raumes mit ${\displaystyle K\geq \kappa >0}$ beträgt höchstens ${\displaystyle {\frac {\pi }{\sqrt {\kappa }}}}$.

Kehrt man in der obigen Ungleichung das Ungleichheitszeichen um, erhält man die Definition eines Raumes mit oberer Krümmungsschranke ${\displaystyle K\leq \kappa }$. Ist ${\displaystyle X}$ ein Raum mit ${\displaystyle K\leq \kappa }$ und vollständig, so gilt die obige Ungleichung global, also für beliebige (verschiedene) Punkte ${\displaystyle a,b,c,d\in X}$.

Für lokalkompakte Räume stimmt die oben gegebene Definition von ${\displaystyle K\leq \kappa }$ mit der üblichen Abstandsvergleichsdefinition überein, nach der ein lokalkompakter Längenraum ${\displaystyle X}$ ein Raum mit unterer Krümmungsschranke ${\displaystyle \kappa }$ ist, falls jeder Punkt ${\displaystyle x\in X}$ eine Umgebung ${\displaystyle U_{x}}$ besitzt, so dass für jedes Dreieck ${\displaystyle xyz}$ in ${\displaystyle U_{x}}$ und je zwei Punkte ${\displaystyle y_{0}\in {\overline {xy}},z_{0}\in {\overline {xz}}}$ die Abstandsgleichung

${\displaystyle |y_{0}z_{0}|\leq |{\tilde {y_{0}}}{\tilde {z_{0}}}|}$

erfüllt ist, wobei ${\displaystyle {\tilde {y_{0}}}}$ und ${\displaystyle {\tilde {z_{0}}}}$ den Punkten ${\displaystyle y_{0}}$ und ${\displaystyle z_{0}}$ entsprechende Punkte im zum Dreieck ${\displaystyle xyz}$ korrespondierenden ${\displaystyle \kappa }$-Vergleichsdreieck bezeichnen.

Erste Beispiele von Räumen mit ${\displaystyle K\leq \kappa }$ sind gegeben durch Riemannsche Mannigfaltigkeiten mit Schnittkrümmung ${\displaystyle Sec\leq \kappa }$ sowie Quotienten von Räumen mit ${\displaystyle K\leq \kappa }$ im allgemeinen metrische und/oder topologische Singularitäten auf (?).

Oftmals bezeichnet man Räume mit einer unteren Krümmungsschranke ${\displaystyle K\leq \kappa }$ synonym auch als Alexandrov-Räume.

(Definition zitiert a​us [1], s. a​uch Weblink)

Besonderes

Jeder Punkt eines Alexandrov-Raumes besitzt eine offene Umgebung, welche zum Tangentialkegel dieses Punktes homöomorph ist. Ferner gilt: Ein Alexandrov-Raum besitzt eine Stratifikation in topologische Mannigfaltigkeiten. Die Strata der Dimension ${\displaystyle l}$ bestehen aus den Punkten, deren Tangentialkegel homöomorph ist zum Produkt eines Kegels mit einem euklidischen Raum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$ einer Dimension ${\displaystyle k\leq l}$.

Literatur

• Jonathan Alze: Hyperbolische Dehnchirurgie. Diplomarbeit 2002 (http://www.mathematik.uni-muenchen.de/~jonathan/diplom/hdc_hyperref.pdf (Memento vom 10. Juni 2007 im Internet Archive))
• Martin Weilandt: Isospectral Alexandrov Spaces. (online)

Weblinks

• http://www.mis.mpg.de/preprints/ln/lecturenote-0900.pdf.

Einzelnachweise

1. Wilderich Tuschmann: Endlichkeitssätze und positive Krümmung Habilitationsschrift Max-Planck-Institut für Mathematik, Leipzig 2000, S. 18–19.