Fresnelsche Formeln

Die fresnelschen Formeln (nach Augustin Jean Fresnel) beschreiben quantitativ d​ie Reflexion u​nd Transmission e​iner ebenen, elektromagnetischen Welle a​n einer ebenen Grenzfläche. Der zunächst berechnete Reflexions- u​nd Transmissionsfaktor i​st das Verhältnis d​er reflektierten bzw. transmittierten Amplitude z​u jener d​er einfallenden Welle. Durch Quadrieren erhält m​an den Reflexions- bzw. d​en Transmissionsgrad, welche a​ls Energiegrößen Intensitätsverhältnisse darstellen.

Vorbetrachtungen

Die fresnelschen Formeln können a​us den maxwellschen Gleichungen hergeleitet werden, d​abei nutzt m​an Sonderfälle d​er Randbedingungen elektromagnetischer Wellen a​n einer ladungs- u​nd stromfreien Grenzschicht:

${\displaystyle {\vec {n}}\times ({\vec {E}}_{2}-{\vec {E}}_{1})=0}$	${\displaystyle {\vec {n}}\times ({\vec {H}}_{2}-{\vec {H}}_{1})=0}$
${\displaystyle {\vec {n}}\cdot ({\vec {D}}_{2}-{\vec {D}}_{1})=0}$	${\displaystyle {\vec {n}}\cdot ({\vec {B}}_{2}-{\vec {B}}_{1})=0}$

Hierbei ist ${\displaystyle {\vec {n}}}$ die Normale auf die Grenzfläche und die anderen Größen beschreiben Magnetfeld und elektrisches Feld in den beiden Medien. Die Tangentialkomponente der elektrischen Feldstärke E und der magnetischen Feldstärke H sind an der Grenzfläche stetig, ebenso wie die Normalkomponente der elektrischen Flussdichte D und der magnetischen Flussdichte B (tangential und normal bezieht sich auf die Grenzfläche).

Abhängig von der Polarisation der einfallenden Welle ergeben sich unterschiedliche Randbedingungen für das Auftreffen einer elektromagnetischen Welle auf eine optische Grenzfläche. Jede beliebig polarisierte elektromagnetische Welle lässt sich als Superposition zweier linear polarisierter Wellen, die senkrecht zueinander schwingen, darstellen. Als Bezugsebene dient die Einfallsebene, die vom Wellenvektor ${\displaystyle {\vec {k_{e}}}}$ der einfallenden Welle und der Flächennormalen ${\displaystyle {\vec {n}}}$ aufgespannt wird. Eine einfallende, beliebig polarisierte Welle lässt sich also als Superposition einer parallel (p) und senkrecht (s) zur Einfallsebene polarisierten Welle schreiben:

${\displaystyle {\vec {E}}=\left[(E_{0e})_{s}\ {\vec {e}}_{s}\ e^{i\delta _{s}}+(E_{0e})_{p}\ {\vec {e}}_{p}\ e^{i\delta _{p}}\right]\ e^{i({\vec {k}}_{e}\cdot {\vec {r}}-\omega t)}=(E_{0e})_{s}\ {\vec {e}}_{s}\ e^{i({\vec {k}}_{e}\cdot {\vec {r}}-\omega t+\delta _{s})}+(E_{0e})_{p}\ {\vec {e}}_{p}\ e^{i({\vec {k}}_{e}\cdot {\vec {r}}-\omega t+\delta _{p})}}$

Dabei ist ${\displaystyle {\vec {E}}}$ der Feldvektor des elektrischen Feldes, ${\displaystyle {\vec {e}}_{i}}$ sind die Einheitsvektoren für s- und p-Polarisation, und die Parameter ${\displaystyle \delta _{i}}$ entsprechen beliebigen Phasenverschiebungen.

Wegen d​es Superpositionsprinzips reicht e​s aus, d​ie Amplitudenverhältnisse für parallel u​nd senkrecht z​ur Einfallsebene linear polarisierte Wellen z​u berechnen.

Die Polarisationsrichtung (senkrecht bzw. parallel z​ur Einfallsebene) bleibt n​ach der Reflexion unverändert.

Allgemeiner Fall

Im allgemeinen Fall haben beide Medien eine unterschiedliche Permittivität ${\displaystyle \varepsilon _{r}}$ und Permeabilität ${\displaystyle \mu _{r}}$ sowie einen komplexen Brechungsindex

${\displaystyle N=n+\mathrm {i} K\,}$.

Vorbetrachtung für Gleichungen mit eliminiertem Brechungswinkel

Im Allgemeinen s​ind für d​ie Berechnung d​er Reflexions- bzw. Transmissionsgrade m​it den fresnelschen Formeln sowohl d​er Brechungsindex d​er beteiligten Medien a​ls auch d​er Einfalls- u​nd Brechungswinkel notwendig.

Um neben diesen allgemeinen Gleichungen auch eine vom Brechungswinkel unabhängige Form anzugeben, muss der Brechungswinkel aus der allgemeinen Form eliminiert werden. Da beide Winkel (${\displaystyle \alpha }$ und ${\displaystyle \beta }$) über das snelliussche Brechungsgesetz verknüpft sind, kann dies wie folgt (mit Hilfe einer Falleingrenzung) erreicht werden:

${\displaystyle N_{1}\sin \alpha =N_{2}\sin \beta \,}$ (Brechungsgesetz)

Quadrieren liefert (unter Nutzung e​iner trigonometrischen Umrechnung) folgenden Zusammenhang:

${\displaystyle N_{1}^{2}\sin ^{2}\alpha =N_{2}^{2}\sin ^{2}\beta =N_{2}^{2}\left(1-\cos ^{2}\beta \right)}$

Umgestellt ergibt s​ich daraus:

${\displaystyle \cos \beta =\pm {\frac {\sqrt {N_{2}^{2}-N_{1}^{2}\sin ^{2}\alpha }}{N_{2}}}}$

Als Lösung w​ird der Fall m​it dem positiven Vorzeichen genutzt, d​amit später d​er Reflexionsfaktor r ≤ 1 ist.

Senkrechte Polarisation

Bei der senkrechten Polarisation bildet die elektrische Komponente mit der Einfallsebene einen rechten Winkel.

Als erstes betrachtet m​an die Komponente, d​ie linear senkrecht (Index: s) z​ur Einfallsebene polarisiert ist. Sie w​ird in d​er Literatur a​uch als transversalelektrische (TE) Komponente bezeichnet.

${\displaystyle \left({\frac {E_{0t}}{E_{0e}}}\right)_{s}=t_{s}={\frac {2N_{1}\cos \alpha }{N_{1}\cos \alpha +{\frac {\mu _{r1}}{\mu _{r2}}}N_{2}\cos \beta }}={\frac {2N_{1}\cos \alpha }{N_{1}\cos \alpha +{\frac {\mu _{r1}}{\mu _{r2}}}{\sqrt {N_{2}^{2}-N_{1}^{2}\sin ^{2}\alpha }}}}}$

${\displaystyle \left({\frac {E_{0r}}{E_{0e}}}\right)_{s}=r_{s}={\frac {N_{1}\cos \alpha -{\frac {\mu _{r1}}{\mu _{r2}}}N_{2}\cos \beta }{N_{1}\cos \alpha +{\frac {\mu _{r1}}{\mu _{r2}}}N_{2}\cos \beta }}={\frac {N_{1}\cos \alpha -{\frac {\mu _{r1}}{\mu _{r2}}}{\sqrt {N_{2}^{2}-N_{1}^{2}\sin ^{2}\alpha }}}{N_{1}\cos \alpha +{\frac {\mu _{r1}}{\mu _{r2}}}{\sqrt {N_{2}^{2}-N_{1}^{2}\sin ^{2}\alpha }}}}}$

Mit dem Transmissionsfaktor ${\displaystyle t_{s}}$, Reflexionsfaktor ${\displaystyle r_{s}}$ und den relativen magnetischen Permeabilitäten ${\displaystyle \mu _{r1}}$ bzw. ${\displaystyle \mu _{r2}}$. Hierbei beziehen sich die Koeffizienten auf das elektrische Feld.

Parallele Polarisation

Bei paralleler Polarisation schwingt die elektrische Komponente in der Einfallsebene.

Koordinatensystem für die Messung der E-Vektoren

Im anderen Fall w​ird die Amplitude e​iner in d​er Einfallsebene linear parallel (Index: p) polarisierten Welle betrachtet. Sie w​ird in d​er Literatur a​uch als transversalmagnetische (TM) Komponente bezeichnet. Hierbei beziehen s​ich die Koeffizienten a​uf das magnetische Feld.

${\displaystyle \left({\frac {E_{0t}}{E_{0e}}}\right)_{p}=t_{p}={\frac {2N_{1}\cos \alpha }{N_{2}{\frac {\mu _{r1}}{\mu _{r2}}}\cos \alpha +N_{1}\cos \beta }}={\frac {2N_{1}N_{2}\cos \alpha }{N_{2}^{2}{\frac {\mu _{r1}}{\mu _{r2}}}\cos \alpha +N_{1}{\sqrt {N_{2}^{2}-N_{1}^{2}\sin ^{2}\alpha }}}}}$

${\displaystyle \left({\frac {E_{0r}}{E_{0e}}}\right)_{p}=r_{p}={\frac {N_{2}{\frac {\mu _{r1}}{\mu _{r2}}}\cos \alpha -N_{1}\cos \beta }{N_{2}{\frac {\mu _{r1}}{\mu _{r2}}}\cos \alpha +N_{1}\cos \beta }}={\frac {N_{2}^{2}{\frac {\mu _{r1}}{\mu _{r2}}}\cos \alpha -N_{1}{\sqrt {N_{2}^{2}-N_{1}^{2}\sin ^{2}\alpha }}}{N_{2}^{2}{\frac {\mu _{r1}}{\mu _{r2}}}\cos \alpha +N_{1}{\sqrt {N_{2}^{2}-N_{1}^{2}\sin ^{2}\alpha }}}}}$

Die Richtungen der elektrischen Feldvektoren ${\displaystyle {\vec {E}}_{r}}$ bzw. ${\displaystyle {\vec {E}}_{t}}$ entsprechen den Richtungen der Vektoren ${\displaystyle {\vec {n}}_{e}\times {\vec {k}}_{r}}$ bzw. ${\displaystyle {\vec {n}}_{e}\times {\vec {k}}_{t}}$, wobei ${\displaystyle {\vec {n}}_{e}}$ der Normalenvektor der Einfallsebene ist.

Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität

Für den in der Praxis häufigen Spezialfall, dass die beteiligten Materialien näherungsweise die gleiche magnetische Permeabilität besitzen (${\displaystyle \mu _{r1}=\mu _{r2}}$), z. B. ${\displaystyle \mu _{r}=1}$ für nicht magnetische Materialien, vereinfachen sich die fresnelschen Formeln wie folgt:

Senkrechte Polarisation (TE)

${\displaystyle \left({\frac {E_{0t}}{E_{0e}}}\right)_{s}=t_{s}={\frac {2N_{1}\cos {\alpha }}{N_{1}\cos {\alpha }+N_{2}\cos {\beta }}}}$

${\displaystyle \left({\frac {E_{0r}}{E_{0e}}}\right)_{s}=r_{s}={\frac {N_{1}\cos {\alpha }-N_{2}\cos {\beta }}{N_{1}\cos {\alpha }+N_{2}\cos {\beta }}}}$

Parallele Polarisation (TM)

${\displaystyle \left({\frac {E_{0t}}{E_{0e}}}\right)_{p}=t_{p}={\frac {2N_{1}\cos {\alpha }}{N_{2}\cos {\alpha }+N_{1}\cos {\beta }}}}$

${\displaystyle \left({\frac {E_{0r}}{E_{0e}}}\right)_{p}=r_{p}={\frac {N_{2}\cos {\alpha }-N_{1}\cos {\beta }}{N_{2}\cos {\alpha }+N_{1}\cos {\beta }}}}$

Spezialfall: dielektrische Materialien

Amplitudenverhältnisse ${\displaystyle r}$, ${\displaystyle t}$ (oben) und Reflexions-/ Transmissionsvermögen ${\displaystyle R}$, ${\displaystyle T}$ (unten) für die Grenzfläche Luft ${\displaystyle n=1}$ und Glas ${\displaystyle n=1{,}5}$ (${\displaystyle \mu _{1}=\mu _{2}=1}$ und ${\displaystyle \kappa _{1}=\kappa _{2}=0}$). Auf Grenzfläche einfallendes Licht von der Luftseite (links) und von der Glasseite (rechts).

Ein weiterer Spezialfall ergibt sich für ideale Dielektrika, bei denen der Absorptionskoeffizient ${\displaystyle \kappa }$ des komplexen Brechungsindex gleich null ist. Das heißt, das Material auf beiden Seiten der Grenzfläche absorbiert die entsprechende elektromagnetische Strahlung nicht (${\displaystyle k_{1}=k_{2}=0}$). Es gilt:

${\displaystyle N_{i}=n_{i}(1+\mathrm {i} \kappa _{i})=n_{i}+\mathrm {i} k_{i}\quad {\xrightarrow[{}]{k_{i}=0}}\quad N_{i}=n_{i}}$

Durch d​en Wegfall d​es Imaginärteils vereinfachen s​ich die fresnelschen Formeln w​ie folgt:[1]

Senkrechte Polarisation (TE)

${\displaystyle \left({\frac {E_{0t}}{E_{0e}}}\right)_{s}=t_{s}={\frac {2n_{1}\cos {\alpha }}{n_{1}\cos {\alpha }+n_{2}\cos {\beta }}}={\frac {2\sin {\beta }\cos {\alpha }}{\sin {(\alpha +\beta )}}}}$

${\displaystyle \left({\frac {E_{0r}}{E_{0e}}}\right)_{s}=r_{s}={\frac {n_{1}\cos {\alpha }-n_{2}\cos {\beta }}{n_{1}\cos {\alpha }+n_{2}\cos {\beta }}}=-{\frac {\sin {(\alpha -\beta )}}{\sin {(\alpha +\beta )}}}}$

Parallele Polarisation (TM)

${\displaystyle \left({\frac {E_{0t}}{E_{0e}}}\right)_{p}=t_{p}={\frac {2n_{1}\cos {\alpha }}{n_{2}\cos {\alpha }+n_{1}\cos {\beta }}}={\frac {2\sin {\beta }\cos {\alpha }}{\sin {(\alpha +\beta )}\cos {(\alpha -\beta )}}}}$

${\displaystyle \left({\frac {E_{0r}}{E_{0e}}}\right)_{p}=r_{p}={\frac {n_{2}\cos {\alpha }-n_{1}\cos {\beta }}{n_{2}\cos {\alpha }+n_{1}\cos {\beta }}}={\frac {\tan {(\alpha -\beta )}}{\tan {(\alpha +\beta )}}}}$

Hinweis: Das zweite Gleichheitszeichen ergibt sich durch Anwenden des Brechungsgesetzes ${\displaystyle {\frac {n_{1}}{n_{2}}}={\frac {\sin \beta }{\sin \alpha }}}$ und Additionstheoremen.[2] Die dabei getroffenen Annahmen sind für Einfallswinkel von 0° und 90° nicht gültig und die Formeln können daher nicht genutzt werden. Hierfür muss die ursprüngliche Form aus reinen Kosinustermen verwendet werden

Senkrechter Einfall

Eine weitere Vereinfachung ergibt s​ich für d​en Fall, d​ass der Einfallswinkel α gleich 0 i​st (senkrechter Einfall):[1]

${\displaystyle \left({\frac {E_{0r}}{E_{0e}}}\right)_{s}=r_{s}={\frac {n_{1}-n_{2}}{n_{1}+n_{2}}}=-r_{p}=-\left({\frac {E_{0r}}{E_{0e}}}\right)_{p}}$

${\displaystyle \left({\frac {E_{0t}}{E_{0e}}}\right)_{s}=t_{s}={\frac {2n_{1}}{n_{1}+n_{2}}}=t_{p}=\left({\frac {E_{0t}}{E_{0e}}}\right)_{p}}$

Fällt beispielsweise sichtbares Licht senkrecht a​uf die Grenzfläche Luft/Quarzglas, d​ann wird d​er Anteil

${\displaystyle R=r_{s}^{2}=(-r_{p})^{2}=\left({\frac {n_{1}-n_{2}}{n_{1}+n_{2}}}\right)^{2}=\left({\frac {1-1{,}46}{1+1{,}46}}\right)^{2}=0{,}035=3{,}5\,\%}$

der einfallenden Intensität unabhängig v​on der Polarisation reflektiert (vgl. Abschnitt Zusammenhang m​it Reflexions- u​nd Transmissionsgrad).

Diskussion der Amplitudenverhältnisse

Partielle Reflexion und Transmission einer eindimensionalen Welle an einer Potentialstufe. Der Anteil der reflektierten und transmittierten Intensität einer elektromagnetischen Welle lässt sich mit den Fresnelschen Formeln berechnen.

Dort, wo die Amplitudenkoeffizienten reell und negativ sind, tritt ein Phasensprung von ${\displaystyle 180^{\circ }=\pi }$ auf (bei reell und positiv keine Phasenänderung):

${\displaystyle r=-|r|=|r|\cdot e^{i\pi }}$

Das Amplitudenverhältnis ${\displaystyle r_{p}}$ besitzt einen Nulldurchgang am Brewster-Winkel ${\displaystyle \alpha _{\text{B}}}$:

${\displaystyle r_{p}={\frac {\tan(\alpha -\beta )}{\tan(\alpha +\beta )}}=0}$   genau bei   ${\displaystyle \alpha +\beta =90{}^{\circ }}$

${\displaystyle {\frac {n_{2}}{n_{1}}}={\frac {\sin \alpha }{\sin \beta }}={\frac {\sin \alpha }{\sin(90{}^{\circ }-\alpha )}}={\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}=\tan \alpha }$   also   ${\displaystyle \alpha _{\text{B}}=\arctan {\frac {n_{2}}{n_{1}}}}$

Beispiele: Brewster-Winkel für Luft-Glas ${\displaystyle {\tfrac {n_{2}}{n_{1}}}={\tfrac {1{,}5}{1}}}$ ist ${\displaystyle \alpha _{\text{B}}=56{,}3{}^{\circ }}$ und für Glas-Luft ${\displaystyle {\tfrac {n_{2}}{n_{1}}}={\tfrac {1}{1{,}5}}}$ ist ${\displaystyle \alpha _{\text{B}}=33{,}7{}^{\circ }}$.

Für ${\displaystyle n_{2}<n_{1}}$ werden ab einem bestimmten Winkel die Amplitudenverhältnisse komplex. Ab diesem kritischen Winkel oder Grenzwinkel tritt Totalreflexion auf. Der Grenzwinkel ${\displaystyle \alpha _{\text{c}}}$ entspricht dem Brechungswinkel ${\displaystyle \beta =90{}^{\circ }}$ also ${\displaystyle \sin \beta =1}$, d. h., die Welle läuft an der Grenzfläche entlang.

${\displaystyle {\frac {n_{2}}{n_{1}}}={\frac {\sin \alpha }{\sin 90{}^{\circ }}}=\sin \alpha }$   also   ${\displaystyle \alpha _{\text{c}}=\arcsin {\frac {n_{2}}{n_{1}}}}$

Beispiel: Grenzwinkel für Glas-Luft ${\displaystyle {\tfrac {n_{2}}{n_{1}}}={\tfrac {1}{1{,}5}}}$ ist ${\displaystyle \alpha _{\text{c}}=41{,}8{}^{\circ }}$.

Zusammenhang mit Reflexions- und Transmissionsgrad

Einfluss des komplexen Brechungsindex eines Materials (${\displaystyle n_{1}+\mathrm {i} k_{1}}$) auf das Reflexionsverhalten eines Lichtstrahls beim Auftreffen auf die Grenzfläche Luft/Material

Man betrachte ein Strahlenbündel, das auf die Grenzfläche eines isotropen, nicht-magnetischen Materials der Fläche ${\displaystyle A}$ einfällt. Die Strahlquerschnitte des einfallenden, reflektierten bzw. transmittierten Strahls sind ${\displaystyle A\cos \alpha }$, ${\displaystyle A\cos \alpha }$ bzw. ${\displaystyle A\cos \beta }$. Die Energie, die pro Zeit- und Flächeneinheit durch eine Fläche fließt, deren Normale parallel zur Energieflussrichtung ${\displaystyle {\vec {S}}}$ (bei isotropen Medien gleich Ausbreitungsrichtung ${\displaystyle {\vec {k}}}$) steht, ist gegeben durch den komplexen Poynting-Vektor ${\displaystyle {\vec {\underline {S}}}}$:[3]

${\displaystyle {\vec {\underline {S}}}={\vec {\underline {E}}}\times {\vec {{\underline {H}}^{*}}}}$

Die mittlere Energieflussdichte erhält m​an durch zeitliche Mittelwertbildung[3] u​nd einigen Umformungen:

${\displaystyle I=\left\langle S\right\rangle ={\frac {1}{2}}\Re \left\lbrace {\vec {\underline {E}}}\times {\vec {{\underline {H}}^{*}}}\right\rbrace ={\frac {1}{2}}\Re \left\lbrace {\sqrt {\frac {\underline {\varepsilon }}{\underline {\mu }}}}{\vec {\underline {E}}}\times {\vec {{\underline {E}}^{*}}}\right\rbrace ={\frac {1}{2}}\Re \left\lbrace {\sqrt {\frac {\underline {\varepsilon }}{\underline {\mu }}}}\right\rbrace \left|E_{0}\right|^{2}={\frac {\varepsilon _{0}c}{2}}\Re \left\lbrace N\right\rbrace \left|E_{0}\right|^{2}}$

Die mittlere Energie, die pro Zeiteinheit vom Strahlenbündel transportiert wird (mittlere Leistung, die auf Fläche ${\displaystyle A}$ trifft), entspricht der mittleren Energieflussdichte mal der Querschnittsfläche, also

${\displaystyle I_{e}A\,\cos \alpha }$, ${\displaystyle I_{r}A\,\cos \alpha }$ bzw. ${\displaystyle I_{t}A\,\cos \beta }$.

Allgemein (unpolarisiertes Licht) wird der Reflexionsgrad ${\displaystyle R}$ (oft auch mit ρ bezeichnet) folgendermaßen definiert:

${\displaystyle R={\frac {\text{reflektierte Leistung}}{\text{eingestrahlte Leistung}}}={\frac {P_{r}}{P_{e}}}=\left|{\frac {A\left\langle {\vec {S}}_{r}\right\rangle \cdot {\vec {n}}}{A\left\langle {\vec {S}}_{e}\right\rangle \cdot {\vec {n}}}}\right|=\left|{\frac {I_{r}A\cos \alpha }{I_{e}A\cos \alpha }}\right|=\left|{\frac {\Re \left\lbrace {\underline {N}}_{1}\right\rbrace \cos \alpha }{\Re \left\lbrace {\underline {N}}_{1}\right\rbrace \cos \alpha }}\right|\cdot \left|{\frac {E_{0r}}{E_{0e}}}\right|^{2}=\left|{\frac {E_{0r}}{E_{0e}}}\right|^{2}}$

und als Transmissionsgrad ${\displaystyle T}$ (oft auch mit τ bezeichnet):

${\displaystyle T={\frac {\text{transmittierte Leistung}}{\text{eingestrahlte Leistung}}}={\frac {P_{t}}{P_{e}}}=\left|{\frac {A\left\langle {\vec {S}}_{t}\right\rangle \cdot {\vec {n}}}{A\left\langle {\vec {S}}_{e}\right\rangle \cdot {\vec {n}}}}\right|=\left|{\frac {I_{t}A\cos \beta }{I_{e}A\cos \alpha }}\right|=\left|{\frac {\Re \left\lbrace {\underline {N}}_{2}\right\rbrace \cos \beta }{\Re \left\lbrace {\underline {N}}_{1}\right\rbrace \cos \alpha }}\right|\cdot \left|{\frac {E_{0t}}{E_{0e}}}\right|^{2}}$

Die beiden Werte lassen s​ich nun m​it Hilfe d​er fresnelschen Formeln berechnen, s​ie sind d​as Produkt d​es entsprechenden Reflexions- bzw. Transmissionsfaktors m​it dessen konjugiert komplexem Wert.

${\displaystyle R_{i}=\left|\left({\frac {E_{0r}}{E_{0e}}}\right)_{i}\right|^{2}=r_{i}\cdot {\bar {r}}_{i}}$

${\displaystyle T_{i}=\left|\Re {\biggl (}{\frac {\left\lbrace N_{2}\right\rbrace \cos \beta }{\left\lbrace N_{1}\right\rbrace \cos \alpha }}{\Biggr )}\right|\cdot \left|\left({\frac {E_{0t}}{E_{0e}}}\right)_{i}\right|^{2}=\left|\Re {\biggl (}{\frac {\left\lbrace N_{2}\right\rbrace \cos \beta }{\left\lbrace N_{1}\right\rbrace \cos \alpha }}{\Biggr )}\right|t_{i}\cdot {\bar {t}}_{i}}$

Für ideale Dielektrika, d​ie keine Absorption u​nd daher n​ur reellwertige Brechungsindizes aufweisen, vereinfachen s​ich die Gleichungen zu:

${\displaystyle R_{i}=\left|\left({\frac {E_{0r}}{E_{0e}}}\right)_{i}\right|^{2}=r_{i}^{2}}$

${\displaystyle T_{i}={\frac {n_{2}}{n_{1}}}{\frac {\cos \beta }{\cos \alpha }}\left|\left({\frac {E_{0t}}{E_{0e}}}\right)_{i}\right|^{2}={\frac {n_{2}}{n_{1}}}{\frac {\cos \beta }{\cos \alpha }}t_{i}^{2}={\frac {\tan \alpha }{\tan \beta }}t_{i}^{2}}$

mit ${\displaystyle i}$ für die s- bzw. p-polarisierte Komponente.

Darüber hinaus s​ind der Reflexions- u​nd Transmissionsgrad über folgende allgemeine Energiestrombilanz a​n einer Grenzfläche (keine Absorption, d. h. Absorptionsgrad i​st null) miteinander verknüpft:

${\displaystyle T_{i}+R_{i}=1}$.

Literatur

• Wolfgang Nolting: Grundkurs Theoretische Physik 3: Elektrodynamik. 7. Auflage. Springer, Berlin 2002, ISBN 3-540-20509-8.
• Wolfgang Demtröder: Experimentalphysik 2. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-20210-2.
• John David Jackson: Klassische Elektrodynamik. de Gruyter, Berlin 2006, ISBN 3-11-018970-4.
• Karl J. Ebeling: Integrierte Optoelektronik: Wellenleiteroptik, Photonik, Halbleiter. 2. Auflage, Springer. Berlin 1998, ISBN 3-540-54655-3.

Einzelnachweise

1. vgl. M. Bass (Hrsg.): Handbook of Optics. Volume I - Geometrical and Physical Optics, Polarized Light, Components and Instruments. 3. Auflage. McGraw-Hill Professional Publishing, 2009, ISBN 978-0-07-162925-6, S. 12.6–12.9.
2. Eugene Hecht: Schaum’s outline of theory and problems of optics. McGraw-Hill Professional, 1975, ISBN 0-07-027730-3, S. 40–50.
3. Jay N. Damask: Polarization optics in telecommunications. Springer, New York 2005, ISBN 0-387-22493-9, S. 10–17.