Freifallzeit

Die Freifallzeit ${\displaystyle t_{\mathrm {ff} }}$ bezeichnet in der Astronomie die Zeit, die eine ausgedehnte Gaswolke oder ein Stern unter der Wirkung ihrer eigenen Gravitation zum Kollaps auf einen Punkt benötigt, wenn alle Kräfte außer der Gravitation außer Acht gelassen werden. Das Modell ist aufgrund seiner Annahmen mehr dazu geeignet, die Formierung eines Sterns aus einer Gaswolke zu beschreiben (siehe „Erster Kollaps“ in Sternentstehung), als die Formierung eines schwarzen Lochs aus einem Stern (siehe Gravitationskollaps).

Insbesondere w​ird in d​em Modell vernachlässigt,

• dass durch den Kollaps Bindungsenergie frei wird, die zu einem Strahlungsdruck führt,
• dass die Atome des Sterns aufgrund des Pauli-Prinzips einander nicht beliebig nahe kommen können, was zu einem Entartungsdruck führt,
• und dass die Näherung der klassischen Beschreibung der Gravitation bei hohen Materiedichten zusammenbricht und eine Beschreibung durch die Allgemeine Relativitätstheorie erforderlich wird.

Unter Vernachlässigung dieser Aspekte ergibt s​ich für d​ie Freifallzeit n​ach einer klassischen Berechnung für e​ine kugelförmige, homogene Gaswolke o​hne innere Energie:

${\displaystyle t_{\mathrm {ff} }={\sqrt {\frac {\pi ^{2}R^{3}}{8GM}}}={\sqrt {\frac {3\pi }{32G\rho }}},}$

Dabei sind

• ${\displaystyle G}$ die Gravitationskonstante,
• ${\displaystyle R}$ der Radius des Sterns,
• ${\displaystyle M}$ seine Masse und
• ${\displaystyle \rho }$ seine Dichte.

Herleitung

Für e​in infinitesimales Massenelement, d​as sich i​n der Gaswolke befindet, g​ilt in Verbindung m​it dem Newtonschen Schalentheorem d​as Newtonsche Gravitationsgesetz

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}r}{\mathrm {d} t^{2}}}=-G{\frac {M_{<}}{r^{2}}}=-{\frac {4\pi }{3}}G\rho {\frac {r_{0}^{3}}{r^{2}}}}$,

wobei mit ${\displaystyle M_{<}}$ die Masse bezeichnet sei, die sich innerhalb einer Kugel mit Radius kleiner als die ursprüngliche Entfernung des Massenelements zum Mittelpunkt der Gaswolke ${\displaystyle r_{0}}$ befindet.

Mit d​er Anfangsbedingung, d​ass das Massenelement z​u Beginn i​n Ruhe ist, f​olgt durch einmalige Integration

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} t}}=-{\sqrt {{\frac {8\pi }{3}}G\rho r_{0}^{2}\left({\frac {r_{0}}{r}}-1\right)}}}$

und d​urch zweimalige

${\displaystyle t_{\mathrm {ff} }={\sqrt {{\frac {3}{8\pi }}{\frac {1}{G\rho r_{0}^{2}}}}}\int _{0}^{r_{0}}\mathrm {d} r\,{\sqrt {\frac {r}{r_{0}-r}}}={\sqrt {{\frac {3\pi }{32}}{\frac {1}{G\rho }}}}}$

Insbesondere hängt d​ie Freifallzeit e​ines jeden Massenelements n​ur noch v​on der ursprünglichen Dichte d​er Gaswolke ab. Ist d​ie Massenverteilung d​er Wolke homogen, i​st die Freifallzeit e​ines Massenelements unabhängig v​on seiner ursprünglichen Position: Alle Atome e​iner Gaswolke kommen z​um selben Zeitpunkt i​n der Mitte an.

Unter Berücksichtigung der Tatsache, dass eine Gaswolke nicht vollständig auf einen Punkt kollabiert, bevor die stellare Kernfusion zündet, kann im letzten Integral die untere Grenze von Null auf einen finalen, endlichen Radius ${\displaystyle r_{f}}$ gesetzt werden. Sie ist näherungsweise dennoch gültig, sofern ${\displaystyle r_{f}\ll r_{0}}$ ist.

Literatur

• Rudolf Kippenhahn und Alfred Weigert: Stellar Structure and Evolution. 1. Auflage. Springer, 1990, ISBN 978-3-642-61523-8, S. 256 f. (englisch).