Fixpunktsatz von Krasnoselski

Der Fixpunktsatz v​on Krasnoselski (englisch Krasnoselskii’s fixed-point theorem) i​st einer d​er zahlreichen Lehrsätze, d​ie der sowjetische Mathematiker Mark Alexandrowitsch Krasnoselski z​um mathematischen Teilgebiet d​er Nichtlinearen Funktionalanalysis beigesteuert hat. Der Satz g​eht auf e​ine wissenschaftliche Publikation Krasnoselskis a​us dem Jahre 1962 zurück u​nd behandelt d​ie Frage n​ach den Bedingungen, u​nter denen für kompakte Operatoren a​uf Banachräumen e​in Fixpunktsatz gilt. Der Satz i​st verwandt m​it dem Fixpunktsatz v​on Schauder.[1][2][3]

Formulierung des Satzes

Der Krasnoselski’sche Fixpunktsatz lässt s​ich folgendermaßen angeben:[1][2]

Gegeben seien ein geordneter ${\displaystyle \mathbb {R} }$-Banachraum ${\displaystyle X}$ mit Norm ${\displaystyle \|\cdot \|}$ und Ordnungskegel ${\displaystyle K=\{x\in X\,\colon \,0\preceq x\}\subset X}$.

Der Ordnungskegel ${\displaystyle K=\{x\in X\,\colon \,0\preceq x\}}$ sei eine abgeschlossene Teilmenge von ${\displaystyle X}$, die nicht aus dem Nullpunkt allein bestehen soll, und die zugehörige Relation ${\displaystyle \preceq }$ eine Halbordnungsrelation.

Weiter seien auf ${\displaystyle K}$ ein kompakter Operator ${\displaystyle \Psi \colon K\to K}$ gegeben sowie zwei verschiedene reelle Zahlen ${\displaystyle R_{1}>0}$ und ${\displaystyle R_{2}>0}$, so dass die beiden Bedingungen

(i) ${\displaystyle \Psi (x){\not \preceq }x\,(\,\forall x\in {K\cap S_{R_{1}}(0)}\,)}$.

(ii) ${\displaystyle {x\not \preceq }\Psi (x)\,(\,\forall x\in {K\cap S_{R_{2}}(0)}\,)}$.[4]

erfüllt seien.

Dann gilt:

${\displaystyle \Psi }$ besitzt einen Fixpunkt ${\displaystyle x_{0}=\Psi (x_{0})\in K}$, welcher zudem der Beziehung

${\displaystyle \min \left(R_{1}\;,\;R_{2}\right)<\|x_{0}\|<\max \left(R_{1}\;,\;R_{2}\right)}$

genügt.

Erläuterungen

• Die obigen Bedingungen (i) und (ii) bedeuten, dass für ${\displaystyle x\in K}$ mit ${\displaystyle \|x\|=R_{1}}$ stets ${\displaystyle {x-\Psi (x)}\not \in K}$ gilt und für ${\displaystyle x\in K}$ mit ${\displaystyle \|x\|=R_{2}}$ stets ${\displaystyle {\Psi (x)-x}\not \in K}$.[2]
• Falls die obigen Bedingungen (i) und (ii) erfüllt sind, spricht man (in der englischen Fachsprache) für ${\displaystyle R_{1}<R_{2}}$ von einer cone compression, für ${\displaystyle R_{1}>R_{2}}$ von einer cone expansion.[2]

Hintergrund

Die Herleitung d​es Krasnoselski’schen Fixpunktsatzes n​utzt an entscheidender Stelle d​en folgenden wichtigen Satz d​es US-amerikanischen Mathematikers James Dugundji a​us dem Jahre 1951:[1][5]

In einem Banachraum ${\displaystyle X}$ ist jede nichtleere, abgeschlossene und konvexe Teilmenge ${\displaystyle C\subseteq X}$ ein Retrakt von ${\displaystyle X}$.

Folgerung

Mit d​em Fixpunktsatz v​on Krasnoselski gelingt es, u​nter gewissen Umständen a​uf die Existenz s​ehr vieler Fixpunkte z​u schließen. Er z​ieht nämlich folgendes Korollar n​ach sich:

Gelten oben die Bedingungen (i) und (ii) sogar für eine ganze Folge ${\displaystyle \left(R_{1}(n)\;,\;R_{2}(n)\right)_{n=1,2,3,\ldots }}$ von Zahlenpaaren mit positiven reellen Zahlen ${\displaystyle R_{1}(n)\neq R_{2}(n)\;(n\in \mathbb {N} )}$ und konvergieren die beiden Zahlenfolgen ${\displaystyle \left(R_{1}(n)\right)_{n=1,2,3,\ldots }}$ und ${\displaystyle \left(R_{2}(n)\right)_{n=1,2,3,\ldots }}$ beide gegen ${\displaystyle \infty }$, so besitzt der kompakte Operator ${\displaystyle \Psi \colon K\to K}$ abzählbar unendlich viele Fixpunkte.[2][6]

Literatur

• Herbert Amann: Fixed point equations and nonlinear eigenvalue problems in ordered Banach spaces. In: SIAM Review. Band 18, 1976, S. 620–709 (MR0415432).
• Philippe G. Ciarlet: Linear and Nonlinear Functional Analysis with Applications. Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia, PA 2013, ISBN 978-1-61197-258-0 (MR3136903).
• J. Dugundji: An extension of Tietze's theorem. In: Pacific Journal of Mathematics. Band 1, 1951, S. 353–367 (MR0044116).
• M. Krasnoselskii: Positive Lösungen von Operatorgleichungen (Russisch. Auf Englisch herausgegeben unter dem Titel „Positive Solutions of Operator Equations“ von Leo F. Boron, Noordhoff, Groningen). Staatlicher Verlag für physikalisch-mathematische Literatur, Moskau 1962 (MR0181881).
• Eberhard Zeidler: Vorlesungen über nichtlineare Funktionalanalysis I: Fixpunktsätze. B. G. Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig 1976 (MR0473927).
• Eberhard Zeidler: Nonlinear Functional Analysis and its Applications I: Fixed-Point Theorems. Translated by Peter R. Wadsack. Springer Verlag, New York, Berlin, Heidelberg, Tokyo 1986, ISBN 0-387-90914-1 (MR0816732).

Einzelnachweise

1. Eberhard Zeidler: Vorlesungen über nichtlineare Funktionalanalysis I 1976, S. 154
2. Eberhard Zeidler: Nonlinear Functional Analysis and its Applications I 1986, S. 562
3. Philippe G. Ciarlet: Linear and Nonlinear Functional Analysis with Applications. 2013, S. 736
4. Für ${\displaystyle r>0}$ ist hierbei ${\displaystyle S_{r}(0)}$ die ${\displaystyle r}$-Sphäre.
5. Herbert Amann: Fixed point equations and nonlinear eigenvalue problems in ordered Banach spaces. SIAM Review 18, S. 657
6. Zeidler (1986), S. 563