First-order second-moment Methode

In d​er Wahrscheinlichkeitstheorie i​st die first-order second-moment Methode (kurz FOSM), a​uch mean v​alue first-order second-moment Methode (kurz MVFOSM) genannt, e​in Näherungsverfahren z​ur Ermittlung d​er stochastischen Momente e​iner Funktion m​it zufallsverteilten Eingangsgrößen. Die englische Bezeichnung ergibt s​ich aus d​er Herleitung, i​n der e​ine Taylorreihe erster Ordnung (first-order) u​nd die ersten beiden Momente (second moment) d​er Eingangsgrößen verwendet werden.[1]

Approximation

Gegeben sei die Zielfunktion ${\displaystyle g(x)}$, wobei der Vektor ${\displaystyle x}$ eine Realisierung des Zufallsvektors ${\displaystyle X}$ mit der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion ${\displaystyle f_{X}(x)}$ ist. Da ${\displaystyle X}$ zufallsverteilt ist, ist auch ${\displaystyle g}$ zufallsverteilt. Die FOSM-Methode approximiert den Erwartungswert der Zielfunktion zu

${\displaystyle \mu _{g}\approx g(\mu )}$

Die Varianz von ${\displaystyle g}$ ist laut FOSM-Methode näherungsweise

${\displaystyle \sigma _{g}^{2}\approx \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial g(\mu )}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial g(\mu )}{\partial x_{j}}}\operatorname {cov} (X_{i},X_{j})}$

wobei ${\displaystyle n}$ die Länge/Dimension von ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle {\frac {\partial g(\mu )}{\partial x_{i}}}}$ die partielle Ableitung am Mittelwertvektor nach dem i-ten Eintrag von ${\displaystyle x}$ ist.

Herleitung

Die Zielfunktion wird durch eine Taylorreihe am Mittelwertvektor ${\displaystyle \mu }$ approximiert.

${\displaystyle g(x)=g(\mu )+\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial g(\mu )}{\partial x_{i}}}(x_{i}-\mu _{i})+{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}g(\mu )}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}(x_{i}-\mu _{i})(x_{j}-\mu _{j})+\cdots }$

Der Erwartungswert von ${\displaystyle g}$ ist durch das folgende Integral gegeben.

${\displaystyle \mu _{g}=E[g(x)]=\int _{-\infty }^{\infty }g(x)f_{X}(x)\,dx}$

Setzt m​an die Taylorreihe ein, erhält man

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{g}&\approx \int _{-\infty }^{\infty }\left[g(\mu )+\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial g(\mu )}{\partial x_{i}}}\right]f_{X}(x)\,dx\\&=\int _{-\infty }^{\infty }g(\mu )f_{X}(x)\,dx+\int _{-\infty }^{\infty }\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial g(\mu )}{\partial x_{i}}}(x_{i}-\mu _{i})f_{X}(x)\,dx\\&=g(\mu )\underbrace {\int _{-\infty }^{\infty }f_{X}(x)\,dx} _{1}+\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial g(\mu )}{\partial x_{i}}}\underbrace {\int _{-\infty }^{\infty }(x_{i}-\mu _{i})f_{X}(x)\,dx} _{0}\\&=g(\mu ).\end{aligned}}}$

Die Varianz von ${\displaystyle g}$ ist durch das folgende Integral gegeben.

${\displaystyle \sigma _{g}^{2}=E([g(x)-\mu _{g}]^{2})=\int _{-\infty }^{\infty }[g(x)-\mu _{g}]^{2}f_{X}(x)\,dx.}$

Mit d​em Verschiebungssatz erhält man

${\displaystyle \sigma _{g}^{2}=E([g(x)-\mu _{g}]^{2})=E(g(x)^{2})-\mu _{g}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }g(x)^{2}f_{X}(x)\,dx-\mu _{g}^{2}}$

Einsetzen d​er Taylor-Reihe liefert

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{g}^{2}&\approx \int _{-\infty }^{\infty }\left[g(\mu )+\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial g(\mu )}{\partial x_{i}}}(x_{i}-\mu _{i})\right]^{2}f_{X}(x)\,dx-\mu _{g}^{2}\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\left\{g(\mu )^{2}+2g(\mu )\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial g(\mu )}{\partial x_{i}}}(x_{i}-\mu _{i})+\left[\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial g(\mu )}{\partial x_{i}}}(x_{i}-\mu _{i})\right]^{2}\right\}f_{X}(x)\,dx-\mu _{g}^{2}\\&=\int _{-\infty }^{\infty }g(\mu )^{2}f_{X}(x)\,dx+\int _{-\infty }^{\infty }2\,g(\mu )\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial g(\mu )}{\partial x_{i}}}(x_{i}-\mu _{i})f_{X}(x)\,dx\\&{}\quad {}+\int _{-\infty }^{\infty }\left[\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial g(\mu )}{\partial x_{i}}}(x_{i}-\mu _{i})\right]^{2}f_{X}(x)\,dx-\mu _{g}^{2}\\&=g(\mu )^{2}\underbrace {\int _{-\infty }^{\infty }f_{X}(x)\,dx} _{1}+2g(\mu )\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial g(\mu )}{\partial x_{i}}}\underbrace {\int _{-\infty }^{\infty }(x_{i}-\mu _{i})f_{X}(x)\,dx} _{0}\\&{}\quad {}+\int _{-\infty }^{\infty }\left[\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial g(\mu )}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial g(\mu )}{\partial x_{j}}}(x_{i}-\mu _{i})(x_{j}-\mu _{j})\right]f_{X}(x)\,dx-\mu _{g}^{2}\\&=\underbrace {g(\mu )^{2}} _{\approx \,\mu _{g}^{2}}+\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial g(\mu )}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial g(\mu )}{\partial x_{j}}}\underbrace {\int _{-\infty }^{\infty }(x_{i}-\mu _{i})(x_{j}-\mu _{j})f(x)\,dx} _{\operatorname {cov} (X_{i},X_{j})}-\mu _{g}^{2}\\&\approx \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial g(\mu )}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial g(\mu )}{\partial x_{j}}}\operatorname {cov} (X_{i},X_{j}).\end{aligned}}}$

Approximation höherer Ordnung

Folgende Abkürzungen werden eingeführt.

${\displaystyle g_{\mu }=g(\mu ),\quad g_{,i}={\frac {\partial g(\mu )}{\partial x_{i}}},\quad g_{,ij}={\frac {\partial g^{2}(\mu )}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}},\quad \mu _{i,j}=E[(x_{i}-\mu _{i})^{j}]}$

Im Folgenden wird angenommen, dass die Einträge von ${\displaystyle X}$ unabhängig sind. Berücksichtigt man in der Taylorreihe auch die Terme zweiter Ordnung, dann ergibt sich die Näherung für den Erwartungswert zu

${\displaystyle \mu _{g}\approx g_{\mu }+{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}g_{,ii}\;\mu _{i,2}}$

Die Näherung zweiter Ordnung d​er Varianz i​st gegeben durch

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{g}^{2}&\approx g_{\mu }^{2}+\sum _{i=1}^{n}g_{,i}^{2}\,\mu _{i,2}+{\frac {1}{4}}\sum _{i=1}^{n}g_{,ii}^{2}\,\mu _{i,4}+g_{\mu }\sum _{i=1}^{n}g_{,ii}\,\mu _{i,2}+\sum _{i=1}^{n}g_{,i}\,g_{,ii}\,\mu _{i,3}\\&{}\quad {}+{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=i+1}^{n}g_{,ii}\,g_{,jj}\,\mu _{i,2}\,\mu _{j,2}+\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=i+1}^{n}g_{,ij}^{2}\,\mu _{i,2}\,\mu _{j,2}-\mu _{g}^{2}\end{aligned}}}$

Die Schiefe von ${\displaystyle g}$ kann aus dem dritten zentralen Moment ${\displaystyle \mu _{g,3}}$ bestimmt werden. Berücksichtigt man nur lineare Terme der Taylorreihe, aber höhere Momente der Eingangsgrößen, dann ergibt sich das dritte zentrale Moment näherungsweise zu

${\displaystyle \mu _{g,3}\approx \sum _{i=1}^{n}g_{,i}^{3}\;\mu _{i,3}}$

Für die Approximation zweiter Ordnung des dritten zentralen Moments sowie für die Herleitung aller Approximationen höherer Ordnung sei auf Anhang D von Ref.[2] verwiesen. Berücksichtigt man die quadratischen Terme der Taylorreihe und die Momente dritter Ordnung des Zufallsvektors, wird dies auch als second-order third-moment Methode bezeichnet.[3] Die vollständige Approximation zweiter Ordnung der Varianz beinhaltet jedoch auch Momente vierter Ordnung, und die vollständige Approximation zweiter Ordnung der Schiefe beinhaltet Momente 6ter Ordnung.[2]

Praktische Anwendung

In der Literatur finden sich diverse Beispiele, bei denen die FOSM-Methode genutzt wird, um die stochastische Verteilung der Beullast von axialbelasteten Strukturen zu bestimmen (siehe bspw. Ref.[4][5][6][7]). Für Strukturen, die sehr sensitiv gegenüber Abweichungen von der idealen Struktur sind (wie Kreiszylinderschalen), wurde vorgeschlagen die FOSM-Methode als Bemessungsmethode zu verwenden. Häufig wird die Anwendbarkeit durch Vergleich mit Monte-Carlo-Simulationen überprüft. In der Ingenieuranwendung liegt die Zielfunktion oft nicht als analytische Funktion vor, sondern ist beispielsweise das Ergebnis einer Finite-Elemente-Simulation. In diesem Fall können die Ableitungen mittels zentraler Differenzen approximiert werden. Die Zielfunktion muss daher ${\displaystyle 2n+1}$ mal ausgewertet werden. Abhängig von der Anzahl der Zufallsgrößen kann dies eine signifikant geringere Anzahl von Auswertungen sein, als es für eine Monte-Carlo-Simulation notwendig ist. Im Rahmen eines Bemessungsverfahrens muss eine untere Bemessungsgrenze bestimmt werden, die sich aus der FOSM-Methode jedoch nicht direkt ergibt. Daher muss für die Zielfunktion unter Berücksichtigung des ermittelten Erwartungswerts, der Varianz und der Schiefe ein Verteilungstyp gewählt werden.

Literatur

1. A. Haldar und S. Mahadevan, Probability, Reliability, and Statistical Methods in Engineering Design. John Wiley & Sons New York/Chichester, UK, 2000.
2. B. Kriegesmann, "Probabilistic Design of Thin-Walled Fiber Composite Structures", Mitteilungen des Instituts für Statik und Dynamik der Leibniz Universität Hannover 15/2012, ISSN 1862-4650, Gottfried Wilhelm Leibniz Universität Hannover, Hannover, Germany, 2012, PDF; 10,2MB.
3. Y. J. Hong, J. Xing, and J. B. Wang, "A Second-Order Third-Moment Method for Calculating the Reliability of Fatigue", Int. J. Press. Vessels Pip., 76 (8), pp 567–570, 1999.
4. I. Elishakoff, S. van Manen, P. G. Vermeulen, und J. Arbocz, "First-Order Second-Moment Analysis of the Buckling of Shells with Random Imperfections", AIAA J., 25 (8), pp 1113–1117, 1987.
5. I. Elishakoff, "Uncertain Buckling: Its Past, Present and Future", Int. J. Solids Struct., 37 (46–47), pp 6869–6889, Nov. 2000.
6. J. Arbocz und M. W. Hilburger, "Toward a Probabilistic Preliminary Design Criterion for Buckling Critical Composite Shells", AIAA J., 43 (8), pp 1823–1827, 2005.
7. B. Kriegesmann, R. Rolfes, C. Hühne, und A. Kling, "Fast Probabilistic Design Procedure for Axially Compressed Composite Cylinders", Compos. Struct., 93, pp 3140–3149, 2011.