Faltings-Höhe

Im mathematischen Gebiet der arithmetischen Geometrie ist die Faltings-Höhe ein Maß für die (arithmetische) Komplexität von abelschen Varietäten. Benannt ist sie nach dem Mathematiker Gerd Faltings. Sie spielte eine wesentliche Rolle in Faltings' Beweis der Mordell-Vermutung, welche besagt, dass eine Kurve vom Geschlecht ${\displaystyle \geq 2}$ nur endlich viele rationale Punkte hat.

Für eine elliptische Kurve ${\displaystyle E}$ mit einem fest gewählten Isomorphismus ${\displaystyle E\cong \mathbb {C} /\Lambda }$ ist die Faltings-Höhe gerade das Reziproke des Flächeninhalts eines Fundamentalbereiches des Gitters ${\displaystyle \Lambda }$.

Motivation

Klassisch verwendet man „Höhenfunktionen“, um mittels der Methode des unendlichen Abstiegs die Unlösbarkeit diophantischer Gleichungen zu beweisen. So betrachtete Pierre de Fermat für die ganzzahligen Lösungen der Gleichung ${\displaystyle x^{4}+y^{4}=z^{2}}$ die Höhenfunktion ${\displaystyle h(p,q,r)=\vert r\vert }$ und zeigte, dass man aus einer Lösung ${\displaystyle p,q,r}$ mit ${\displaystyle h(p,q,r)>0}$ eine andere Lösung ${\displaystyle ({\tilde {p}},{\tilde {q}},{\tilde {r}})}$ mit ${\displaystyle h({\tilde {p}},{\tilde {q}},{\tilde {r}})<h(p,q,r)}$ konstruieren könnte. Daraus folgt, dass es außer ${\displaystyle (0,0,0)}$ keine ganzzahligen Punkte auf der Kurve geben kann.

Faltings Verallgemeinerung besteht darin, jeder abelschen Varietät eine Höhe zuzuordnen und dies dann auf die Jacobi-Varietät der Kurve anzuwenden. Er setzt diese Höhe in Beziehung zur klassischen Höhenfunktion und erhält daraus, dass es nur endlich viele ${\displaystyle g}$-dimensionale prinzipal-polarisierte semistabile abelsche Varietäten beschränkter Höhe ${\displaystyle h\leq c}$ geben kann („Prinzip beschränkter Höhe“). Er untersucht weiter die Veränderung dieser Höhe unter Isogenien und verwendet diese Abschätzung und das Prinzip beschränkter Höhe sowohl für den Beweis der Tate-Vermutung als auch für den Beweis der Schafarewitsch-Vermutung. Die Schafarewitsch-Vermutung besagt, dass es für eine endliche Menge von Primidealen ${\displaystyle S}$ in einem Zahlkörper nur endlich viele Isomorphismenklassen von Kurven von gegebenem Geschlecht ${\displaystyle g}$ mit guter Reduktion außerhalb ${\displaystyle S}$ gibt. Wegen dem Prinzip beschränkter Höhe genügt es dafür, die Beschränktheit der Höhen der assoziierten Jacobi-Varietäten zu zeigen. Mit der Tate-Vermutung kann man das auf den Fall zurückführen, dass die Jacobi-Varietäten alle isogen sind. Faltings nutzte seine Formel für die Änderung der Höhe unter Isogenien, zusammen mit dem Satz von Raynaud und den Weil-Vermutungen, um die Beschränktheit der Höhe und damit die Schafarewitsch-Vermutung zu zeigen.[1]

Mit Arbeiten v​on Alexei Nikolajewitsch Parschin f​olgt aus d​er Schafarewitsch-Vermutung d​ie Mordell-Vermutung.

Konstruktion

Die Faltings-Höhe misst die „Größe“ einer abelschen Varietät ${\displaystyle A}$ über einem Zahlkörper ${\displaystyle K}$. Man betrachtet die Néron-Modelle ${\displaystyle A_{v}}$ von ${\displaystyle A}$ über allen Vervollständigungen ${\displaystyle K_{v}}$ von ${\displaystyle K}$. Der Vektorraum der globalen Schnitte der höchsten äußeren Potenz des kanonischen Bündels im Sinne der Arakelov-Theorie ist ein metrisierter ${\displaystyle O_{A_{v}}}$-Modul und trägt somit eine kanonische Norm. Das Produkt der Haarschen Maße der Grundmaschen der kanonischen Gitter in diesem Vektorraum (fast alle sind 1) ist die Faltings-Höhe von ${\displaystyle A}$.

Beispiel

Eine prinzipal polarisierte elliptische Kurve ${\displaystyle E}$ sei gegeben durch die Gleichung ${\displaystyle y^{2}=4x^{3}-g_{2}x-g_{3}x}$. Man hat dann ein holomorphes Differential ${\displaystyle \omega ={\tfrac {1}{y}}dx}$ und einen Isomorphismus ${\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda \simeq E(\mathbb {C} )}$ für ein Gitter ${\displaystyle \Lambda \subset \mathbb {C} }$ . Die Faltings-Höhe wird in diesem Fall definiert durch

${\displaystyle H(E,\omega )={\frac {2}{i\int _{E(\mathbb {C} )}\omega \wedge {\overline {\omega }}}}}$

oder äquivalent durch ${\displaystyle H(E,\omega )={\tfrac {1}{A(D)}}}$, wobei ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} }$ ein Fundamentalbereich des Gitters ${\displaystyle \Lambda }$ und ${\displaystyle A(D)}$ sein Flächeninhalt ist.

Wenn eine elliptische Kurve ${\displaystyle E}$ über ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ definiert ist, dann ist die definierende Gleichung und damit ${\displaystyle \omega }$ und dann auch ${\displaystyle H(E,\omega )}$ bis auf Multiplikation mit Elementen aus ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{*}}$ definiert. Man kann aber ein minimales Modell ${\displaystyle y^{2}+a_{1}xy+a_{3}y=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{4}x+a_{6}}$ (mit minimaler Diskriminante) wählen und hat dann ein bis auf Vorzeichen eindeutiges Differential ${\displaystyle \omega ={\tfrac {1}{2y+a_{1}x+a_{3}}}dx}$ und damit eine wohldefinierte Faltings-Höhe.

Bedeutung

Die Faltings-Höhe i​st eine Höhenfunktion a​uf der Menge d​er abelschen Varietäten über Zahlkörpern, d​ie von Gerd Faltings i​n seinem berühmten Artikel Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern eingeführt wurde.

Es g​ibt nur endlich v​iele polarisierte abelsche Varietäten m​it beschränkter Faltings-Höhe. Dies i​st ein wesentlicher Beweisschritt i​m Beweis d​er Shafarevich-Vermutung u​nd damit d​er Mordell-Vermutung.

Literatur

• Gerd Faltings: Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern. Inventiones Mathematicae 73, 1983, S. 349–366. doi:10.1007/BF01388432. Freier Online-Zugriff über DigiZeitschriften.
• Gerd Faltings: Die Vermutungen von Tate und Mordell. Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, 1984, S. 1–13. (online)

Weblinks

• Kapitel 4.6 in Milne: Abelian Varieties
• Heights and Finiteness theorems of abelian varieties

Einzelnachweise

1. S. Bloch: The proof of the Mordell conjecture. Math. Intell. 6, No. 2, 41–47 (1984).