Schafarewitsch-Vermutung

In d​er Mathematik i​st die Schafarewitsch-Vermutung e​ine 1983 v​on Gerd Faltings bewiesene Vermutung a​us der arithmetischen Geometrie. Sie w​urde ursprünglich v​on Schafarewitsch a​uf dem Internationalen Mathematikerkongress 1962 i​n Stockholm aufgestellt u​nd für hyperelliptische Kurven bewiesen.

Aussage

Die Schafarewitsch-Vermutung besagt, dass es für einen Zahlkörper ${\displaystyle K}$ und eine endliche Menge von Primidealen ${\displaystyle S}$ im Ganzheitsring ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ nur endlich viele Kurven gegebenen Geschlechts ${\displaystyle g\geq 1}$ gibt, deren Néron-Modelle modulo der Ideale in ${\displaystyle S}$ schlechte Reduktion haben, d. h. nach Reduktion algebraische Kurven mit Singularitäten sind.

Durch Übergang zur Jacobi-Varietät und Verwendung des Satzes von Torelli ist die Vermutung äquivalent zu der Vermutung, dass es nur endlich viele ${\displaystyle g}$-dimensionale, prinzipal polarisierte, abelsche Varietäten mit schlechter Reduktion modulo der Ideale in ${\displaystyle S}$ gibt.

Beispiele

Für ${\displaystyle g=1}$ besagt die Schafarewitsch-Vermutung, dass es nur endlich viele elliptische Kurven über ${\displaystyle K}$ gibt, deren Néron-Modelle bezüglich Primzahlen in ${\displaystyle S}$ schlechte Reduktion haben. Tatsächlich sind Néron-Modelle elliptischer Kurven durch eine Gleichung ${\displaystyle y^{2}=x(x-1)(x-\lambda )}$ gegeben und sie haben nur dann schlechte Reduktion modulo ${\displaystyle S}$, wenn ${\displaystyle \lambda }$ und ${\displaystyle \lambda -1}$ nur durch die Primzahlen in ${\displaystyle S}$ teilbar sind. Dies ist zu einer gegebenen Menge ${\displaystyle S}$ nur für endlich viele ${\displaystyle \lambda }$ der Fall.

Anwendungen

Aus der Schafarewitsch-Vermutung folgt mit Arbeiten von Alexei Nikolajewitsch Parschin die Mordell-Vermutung: eine algebraische Kurve vom Geschlecht ${\displaystyle g\geq 2}$ über einem Zahlkörper hat nur endlich viele rationale Punkte.

Analoga

Die Schafarewitsch-Vermutung für Funktionenkörper w​urde in Charakteristik Null 1971 v​on Arakelow u​nd in positiver Charakteristik 1978 v​on Szpiro bewiesen.

Literatur

• I. R. Shafarevich: Algebraic number fields, Transl. AMS 31, 25–39 (1963)
• A. N. Parshin: Algebraic curves over function fields I, Math. USSR Izv. 2, 1145–1170 (1968)
• S. Arakelov: Families of curves with fixed degenracies, Math. USSR Izv. 5, 1277–1302 (1979)
• L. Szpiro: Sur le théorème de rigidité de Parsin er Arakelov, Asterisque 164, 169–202 (1979)
• G. Faltings: Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern, Inv. Math. 73, 349–366 (1983)