Epsilontik

Die Epsilontik ist ein Begriff aus der Analysis. Sie wird verwendet, um Begriffe wie Grenzwert oder Stetigkeit mathematisch exakt zu formulieren. Die Bezeichnung leitet sich von dem griechischen Buchstaben Epsilon ${\displaystyle (\varepsilon )}$ ab, der für eine (kleine) positive reelle Zahl steht. Zentraler Begriff in der Epsilontik ist die ${\displaystyle \varepsilon }$-Umgebung, also das offene Intervall ${\displaystyle ]a-\varepsilon ,a+\varepsilon [}$ um eine reelle Zahl a.

Eine Epsilon- bzw. ε-Umgebung um die Zahl a,
eingezeichnet auf der Zahlengeraden

Anwendungen

Die Epsilontik w​ird zum Beispiel b​ei den folgenden Definitionen verwendet:

• Konvergenz einer Zahlenfolge gegen einen Grenzwert
• Cauchy-Folge
• Grenzwert von Funktionen
• Stetigkeit und gleichmäßige Stetigkeit einer Funktion

Historisches

Die Epsilontik geht auf Karl Weierstraß zurück, der erstmals die ${\displaystyle \varepsilon }$-Umgebungen zur Definition des Grenzwerts eingeführt hat.[1] Hatte man vorher intuitiv mit Bewegungsvorstellungen argumentiert – "strebt gegen" oder "wird beliebig klein" – so stellte nun die Epsilontik den Grenzwertbegriff auf ein stabiles mathematisches Fundament, das exakte Definitionen und Beweisführungen ermöglicht. Dies war ein wichtiger Beitrag für die gesamte Analysis, für die der Grenzwertbegriff von zentraler Bedeutung ist.

Beispiel

Das Vorgehen m​it Hilfe d​er Epsilontik s​oll am Beispiel d​er Definition für d​ie Konvergenz e​iner Zahlenfolge u​nd einem entsprechenden Beweis für e​ine konkrete Folge gezeigt werden.

Definition

Eine Folge reeller Zahlen ${\displaystyle f_{n}}$ konvergiert gegen den Grenzwert ${\displaystyle g}$, wenn es zu jeder Zahl ${\displaystyle \varepsilon >0}$ mit ${\displaystyle \varepsilon \in \mathbb {R} }$ eine Zahl ${\displaystyle n_{0}\in \mathbb {N} }$ gibt, so dass für jeden Index ${\displaystyle n>n_{0}}$ gilt: ${\displaystyle |f_{n}-g|<\varepsilon }$.

Oder i​n den beiden gebräuchlichen Quantoren-Schreibweisen:

Eine Folge reeller Zahlen ${\displaystyle f_{n}}$ konvergiert genau dann gegen den Grenzwert ${\displaystyle g}$, wenn

1	${\displaystyle \bigwedge _{\varepsilon >0}}$	${\displaystyle \bigvee _{n_{0}}}$	${\displaystyle \bigwedge _{n>n_{0}}}$	${\displaystyle \left|f_{n}-g\right|<\varepsilon }$
2	${\displaystyle \forall \varepsilon >0}$	${\displaystyle \exists n_{0}}$	${\displaystyle \forall n>n_{0}:}$	${\displaystyle \left|f_{n}-g\right|<\varepsilon }$
zu lesen als:	Für alle Epsilon größer null	existiert ein ${\displaystyle n_{0}}$, für das gilt, dass	für alle ${\displaystyle n>n_{0}}$ gilt:	Betrag von fn minus g ist kleiner als Epsilon.

Das bedeutet, dass es für jede noch so kleine positive Zahl ${\displaystyle \varepsilon }$ einen Index ${\displaystyle n_{0}}$ gibt – der im Allgemeinen von ${\displaystyle \varepsilon }$ abhängt – so dass alle weiteren Folgenglieder in der ${\displaystyle \varepsilon }$-Umgebung des Grenzwertes liegen.

Satz

Die Folge ${\displaystyle f_{n}={\tfrac {1}{n}}(n\in \mathbb {N} )}$ konvergiert gegen den Grenzwert ${\displaystyle g=0}$.

Beweis

Es sei ${\displaystyle \varepsilon }$ > 0, d. h. eine ${\displaystyle \varepsilon }$-Umgebung des Grenzwertes wird vorgegeben. Der Ausdruck

${\displaystyle |f_{n}-g|={\frac {1}{n}}}$

soll nun für ${\displaystyle n>n_{0}}$ kleiner als ${\displaystyle \varepsilon }$ werden. Dies wir erreicht, wenn man ${\displaystyle n_{0}}$ so wählt, dass ${\displaystyle n_{0}>{\tfrac {1}{\varepsilon }}}$ ist. Denn dann ist für alle ${\displaystyle n>n_{0}}$

${\displaystyle |f_{n}-g|={\frac {1}{n}}<{\frac {1}{n_{0}}}<\varepsilon }$.

Verallgemeinerungen

Der Begriff der ${\displaystyle \varepsilon }$-Umgebung einer Zahl auf der Zahlengeraden, kann auf die kreisförmige offene Umgebung in der Ebene, die kugelförmige im Raum oder allgemein zum Begriff der ${\displaystyle \varepsilon }$-Umgebung in metrischen Räumen verallgemeiner werden.

Eine weitere Verallgemeinerung stellt d​er Begriff d​er offenen Menge i​n einem topologischen Raum dar.

Anmerkungen

• Vereinzelt wird der Begriff Epsilontik auch leicht abwertend verwendet, etwa wenn der Routinecharakter von Beweisen betont werden soll.[2]
• „Sei ${\displaystyle \varepsilon <0}$“ ist ein Witz, über den – wenn überhaupt – nur Mathematiker lachen können. Er beruht darauf, dass Beweise mit Hilfe der Epsilontik meist mit dem Satz „Sei ${\displaystyle \varepsilon >0}$“ beginnen.

Siehe auch

• Filter
• Filterkonvergenz

Einzelnachweise

1. Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. Teil 2. B. G. Teubner, Stuttgart 1990, ISBN 3-519-42222-0, S. 696 f.
2. Epsilontik. In: Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. 1. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim/Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8.

Literatur

• K. Endl / W. Luh: Analysis. Band 1. Akademische Verlagsgesellschaft, 1972, ISBN 3-400-00185-6.
• K. Endl / W. Luh: Analysis. Band 2. Akademische Verlagsgesellschaft, 1973, ISBN 3-400-00206-2.
• B. v. Querenburg: Mengentheoretische Topologie. Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York, 1976, ISBN 3-540-06417-6.