Effektiv-Medium-Theorie

Eine Effektiv-Medium-Theorie (englisch effective medium theory, EMT) bezeichnet analytische o​der theoretische Modelle z​ur Beschreibung d​er makroskopischen Eigenschaften v​on Mischkörpern. Dabei werden d​ie Eigenschaften dieser, a​us einer Mischung unterschiedlicher Substanzen, bestehenden Materialien a​us der (gewichteten) Mittlung d​er jeweiligen Werte d​er Bestandteile entwickelt.[1][2] Dies g​ilt auch w​enn auf d​er Einzelbestandteilsebene d​ie Werte d​er Materialien variieren u​nd inhomogen sind, w​as eine genaue Berechnung vieler Bestandteilswerte nahezu unmöglich macht. Die entwickelten EM-Theorien liefern jedoch annehmbare Näherungen, d​ie wiederum nützliche Parameter u​nd Eigenschaften d​es Verbundmaterials a​ls Ganzes beschreiben.

Anwendungen

Es g​ibt viele verschiedene Effektiv-Medium-Theorien, v​on denen j​ede unter bestimmten Bedingungen m​ehr oder weniger g​enau ist. Die Näherungen können diskrete Modelle sein, w​ie sie a​uf Widerstandsnetzwerke angewendet werden, o​der Kontinuumstheorien, w​ie sie a​uf Elastizität o​der Viskosität angewendet werden. Jedoch h​aben sie a​lle gemeinsam, d​ass sie v​on homogenen makroskopischen System ausgehen und, typisch für a​lle Mittelungs-Feldtheorien, d​ie Eigenschaften e​ines mehrphasigen Mediums n​ahe der Perkolationsschwelle n​icht vorhersagen können, d​a in d​er Theorie k​eine Korrelationen über große Entfernungen o​der kritische Schwankungen vorliegen.

Die betrachteten Eigenschaften sind üblicherweise die elektrische Leitfähigkeit ${\displaystyle \sigma }$ oder die Dielektrizitätskonstante ${\displaystyle \epsilon }$ des Mediums. Diese Parameter sind aufgrund der breiten Anwendbarkeit der Laplace-Gleichung in den Formeln einer ganzen Reihe von Modellen austauschbar. Die Probleme, die außerhalb dieser Klasse befinden, liegen hauptsächlich im Bereich der Elastizität und Hydrodynamik, da die Konstanten des effektiven Mediums einen Tensorcharakter höherer Ordnung haben.

Die beiden in der Praxis am häufigsten verwendeten Modelle sind die Effektiv-Medium-Näherung (englisch effective medium approximation, EMA) von Bruggeman und die Maxwell-Garnett-Theorie (MGT). Beide basieren auf der Clausius-Mossotti-Beziehung, welche die Verbindung zwischen makroskopischer und mikroskopische Parameter eines Mediums bereitstellt. Als allgemeinster Ansatz für eine effektives Medium wird die nach Graeme Milton und David J. Bergman benannte Bergman-Milton-Repräsentation angesehen,[3] bei dem die geometrischen Eigenschaften komplexer plasmonischer Verbundwerkstoffe sogar als geometrische Funktionen definiert werden, die über eine Spektral-Dichtefunktionen korreliert sind.

Effektiv-Medium-Näherung nach Bruggeman

Dirk Anton George Bruggeman entwickelte 1935 Formeln zur Berechnung der dielektrischen, magnetischen und optischen Eigenschaften heterogener Materialien.[4] [5] [6] Ohne Verlust der Allgemeingültigkeit werden wir die Untersuchung der effektiven Leitfähigkeit (für Gleich- oder Wechselstrom) eines Systems betrachten, das aus sphärischen Mehrkomponenteneinschlüssen mit unterschiedlichen beliebigen Leitfähigkeiten besteht. In diesem Fall nimmt die Bruggeman-Formel folgende Formen an.

Zirkuläre und sphärische Einschlüsse

${\displaystyle \sum _{i}\,\delta _{i}\,{\frac {\sigma _{i}-\sigma _{e}}{\sigma _{i}+(n-1)\sigma _{e}}}\,=\,0\qquad \qquad (1)}$

In einem System euklidischer Raumdimension ${\displaystyle n}$ mit einer beliebigen Anzahl von Komponenten[7] wird die Summe über alle Komponenten gebildet. ${\displaystyle \delta _{i}}$ und ${\displaystyle \sigma _{i}}$ sind hierbei jeweils der Anteil und die Leitfähigkeit jeder Komponente, und ${\displaystyle \sigma _{e}}$ist die effektive Leitfähigkeit des Mediums. (Die Summe über alle ${\displaystyle \delta _{i}}$ ist 1.)

Elliptische und ellipsoide Einschlüsse

${\displaystyle {\frac {1}{n}}\,\delta \alpha +{\frac {(1-\delta )(\sigma _{m}-\sigma _{e})}{\sigma _{m}+(n-1)\sigma _{e}}}\,=\,0\qquad \qquad (2)}$

Dies ist eine Verallgemeinerung von Gleichung (1) zu einem zweiphasigen System mit ellipsoidischen Einschlüssen der Leitfähigkeit ${\displaystyle \sigma }$ in eine Matrix der Leitfähigkeit ${\displaystyle \sigma _{m}}$.[8] Der Anteil der Einschlüsse ist ${\displaystyle \delta }$ und das System ist ${\displaystyle n}$-dimensional. Für zufällig orientierte Einschlüsse,

${\displaystyle \alpha \,=\,{\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}\,{\frac {\sigma -\sigma _{e}}{\sigma _{e}+L_{j}(\sigma -\sigma _{e})}}\qquad \qquad (3)}$

wobei ${\displaystyle L_{j}}$ das geeignete Doble/Tripplett der Depolarisationsfaktoren bezeichnen, das durch die Verhältnisse zwischen der Achse der Ellipse/Ellipsoid bestimmt wird. Zum Beispiel: bei einem Kreis {${\displaystyle L_{1}=1/2}$, ${\displaystyle L_{2}=1/2}$} und bei einer Kugel {${\displaystyle L_{1}=1/3}$, ${\displaystyle L_{2}=1/3}$, ${\displaystyle L_{3}=1/3}$}. (Die Summe über alle ${\displaystyle L_{j}}$ ist 1.)

Der allgemeinste Fall a​uf den d​er Bruggeman-Ansatz angewendet wurde, betrifft bianisotrope ellipsoide Einschlüsse.[9]

Prinzipskizze zu vereinfachten Betrachtungsweisen in der Effektiv-Medium-Theorie

Ableitung

Die Abbildung zeigt ein Zweikomponenten-Medium.[7][10] Man betrachtet das rosa Volumen der Leitfähigkeit ${\displaystyle \sigma _{1}}$ als eine Kugel des Volumens ${\displaystyle V}$ und geht davon aus, dass es in ein einheitliches Medium mit einer effektiven Leitfähigkeit ${\displaystyle \sigma _{e}}$ eingebettet ist. Wenn das elektrische Feld in der Ferne ${\displaystyle {\overline {E_{0}}}}$ ist, dann führen elementare Überlegungen zu einem Dipolmoment, das mit dem Volumen verbunden ist.

${\displaystyle {\overline {p}}\,\propto \,V\,{\frac {\sigma _{1}-\sigma _{e}}{\sigma _{1}+2\sigma _{e}}}\,{\overline {E_{0}}}\qquad \qquad (4)}$

Diese Polarisation erzeugt eine Abweichung von ${\displaystyle {\overline {E_{0}}}}$. Wenn die mittlere Abweichung verschwinden soll, muss die gesamte Polarisation, die über die beiden Einschlusstypen summiert wird, verschwinden. So

${\displaystyle \delta _{1}{\frac {\sigma _{1}-\sigma _{e}}{\sigma _{1}+2\sigma _{e}}}\,+\,\delta _{2}{\frac {\sigma _{2}-\sigma _{e}}{\sigma _{2}+2\sigma _{e}}}\,=\,0\qquad \qquad (5)}$

wobei ${\displaystyle \delta _{1}}$ und ${\displaystyle \delta _{2}}$ jeweils der Volumenanteil von Material 1 und 2 sind.

Diese Gleichung kann leicht zu einem System der Dimension ${\displaystyle n}$ erweitert werden, das eine beliebige Anzahl von Komponenten aufweist. Alle Fälle können kombiniert werden, um Gleichung (1) zu erhalten.

Gleichung (1) k​ann auch dadurch erhalten werden, d​ass die Stromabweichung verschwinden muss.[11][12] Es w​urde hier a​us der Annahme abgeleitet, d​ass die Einschlüsse kugelförmig s​ind und für Formen m​it anderen Depolarisationsfaktoren modifiziert werden können; w​as Gleichung (2) führt.

Modellierung von Perkolationssystemen

Die Hauptannahme der Näherung ist, dass sich alle Domänen in einem äquivalenten mittleren Feld befinden. Leider ist für ein System nahe der Perkolationsschwelle nicht der Fall. Hier wird das System vom größten (fraktalen) Leitergruppe und von weitreichenden Korrelationen bestimmt werden, die in Bruggemans einfacher Formel jedoch nicht vorhanden sind. Die Schwellenwerte werden im Allgemeinen nicht korrekt vorhergesagt. So ergibt sich aus einem dreidimensionalen Modell 33 %, was weit entfernt von den 16 %, die von der Perkolationstheorie erwartet werden und in Experimenten beobachtet wurden. In zwei Dimensionen ergibt sich jedoch einen Schwellenwert von 50 % und es wurde nachgewiesen, dass dies die Perkolation relativ gut modelliert.[13] [14] [15]

Maxwell-Garnett-Theorie

→ Hauptartikel: Maxwell-Garnett-Gleichung

In d​er Maxwell-Garnett-Gleichung, aufgestellt 1904 v​on James Clerk Maxwell Garnett, besteht d​as effektive Medium a​us einem Matrixmedium u​nd Einschlüssen, s​ie lautet:[16]

${\displaystyle \left({\frac {\varepsilon _{\mathrm {eff} }-\varepsilon _{m}}{\varepsilon _{\mathrm {eff} }+2\varepsilon _{m}}}\right)=\delta _{i}\left({\frac {\varepsilon _{i}-\varepsilon _{m}}{\varepsilon _{i}+2\varepsilon _{m}}}\right),\qquad \qquad (6)}$

wobei ${\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {eff} }}$ die effektive Dielektrizitätskonstante des Mediums, ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$ der Einschlüsse und ${\displaystyle \varepsilon _{m}}$ der Matrix sind. ${\displaystyle \delta _{i}}$ ist das der Volumenanteil der Einschlüsse.

Die Maxwell-Garnett-Gleichung w​ird gelöst durch:[17][18]

${\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {eff} }\,=\,\varepsilon _{m}\,{\frac {2\delta _{i}(\varepsilon _{i}-\varepsilon _{m})+\varepsilon _{i}+2\varepsilon _{m}}{2\varepsilon _{m}+\varepsilon _{i}-\delta _{i}(\varepsilon _{i}-\varepsilon _{m})}},\qquad \qquad (7)}$

solange d​er Nenner n​icht verschwindet.

Ableitung

Für d​ie Ableitung d​er Maxwell-Garnett-Gleichung w​ird von e​iner Anordnung polarisierbarer Partikel ausgegangen. Durch d​ie Verwendung d​es Lorentz-Lokalfeldkonzeptes erhält m​an die Clausius-Mossotti-Beziehung:

${\displaystyle {\frac {\varepsilon -1}{\varepsilon +2}}={\frac {4\pi }{3}}\sum _{j}N_{j}\alpha _{j}}$

wobei ${\displaystyle N_{j}}$die Anzahl der Partikel pro Volumeneinheit ist.

Durch die Verwendung von elementarer Elektrostatik erhalten wir für einen sphärischen Einschluss mit der Dielektrizitätskonstante ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$ und einem Radius ${\displaystyle a}$ eine Polarisierbarkeit ${\displaystyle \alpha }$:

${\displaystyle \alpha =\left({\frac {\varepsilon _{i}-1}{\varepsilon _{i}+2}}\right)a^{3}}$

Wenn ${\textstyle \alpha }$ mit der Clausius-Mosotti-Gleichung kombiniert wird, erhält man:

${\displaystyle \left({\frac {\varepsilon _{\mathrm {eff} }-1}{\varepsilon _{\mathrm {eff} }+2}}\right)=\delta _{i}\left({\frac {\varepsilon _{i}-1}{\varepsilon _{i}+2}}\right)}$

Dabei ist ${\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {eff} }}$ die effektive Dielektrizitätskonstante des Mediums, ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$ die der Einschlüsse. ${\displaystyle \delta _{i}}$ist der Volumenanteil der Einschlüsse.

Da d​as Modell v​on Maxwell u​nd Garnett e​ine Zusammensetzung a​us einem Matrixmedium m​it Einschlüssen ist, k​ann die Gleichung umgeformt werden:

${\displaystyle \left({\frac {\varepsilon _{\mathrm {eff} }-\varepsilon _{m}}{\varepsilon _{\mathrm {eff} }+2\varepsilon _{m}}}\right)=\delta _{i}\left({\frac {\varepsilon _{i}-\varepsilon _{m}}{\varepsilon _{i}+2\varepsilon _{m}}}\right)\qquad \qquad (8)}$

Gültigkeit

Allgemein wird angenommen, dass die Maxwell-Garnett-Näherung bei geringen Volumenanteilen ${\displaystyle \delta _{i}}$ gültig ist, da davon ausgegangen wird, dass die Domänen räumlich getrennt sind und die elektrostatische Wechselwirkung zwischen den ausgewählten Einschlüssen und allen anderen benachbarten Einschlüssen vernachlässigt wird.[19] Im Gegensatz zur Bruggeman-Gleichung, hört die Maxwell-Garnett-Gleichung auf, korrekt zu sein, wenn die Einschlüsse resonant werden. Im Falle der Plasmonresonanz ist die Maxwell-Garnett-Gleichung nur für einen Volumenanteil der Einschlüsse ${\displaystyle \delta _{i}<10^{-5}}$ gültig.[20]

Widerstandsnetzwerke

Für ein Netzwerk, bestehend aus einer hohen Anzahl zufälliger Widerstände, kann eine genaue Lösung für jedes einzelne Element unpraktisch oder unmöglich sein. In einem solchen Fall kann ein solches Widerstandsnetzwerk als zweidimensionaler Graph betrachtet und der effektive Widerstand in Form von Graphenmaßen und geometrischen Eigenschaften von Netzwerken modelliert werden.[21] Unter der Annahme, dass die Kantenlänge sehr viel kleiner als der Elektrodenabstand und die Kanten gleichmäßig verteilt sind, kann das Potential von einer Elektrode zur anderen als gleichmäßig abfällend angenommen werden. Der Schichtwiderstand des Netzwerks (${\displaystyle R_{sn}}$) kann in Bezug auf die Kanten-(Draht-)Anzahl (${\displaystyle N_{E}}$), den spezifischen Widerstand (${\displaystyle \rho }$), die Breite (${\displaystyle w}$) und die Dicke (${\displaystyle t}$) der Kanten wie folgt geschrieben werden:

${\displaystyle R_{sn}\,=\,{\frac {\pi }{2}}{\frac {\rho }{w\,t\,{\sqrt {N_{E}}}}}\qquad \qquad (9)}$

Literatur

• Akhlesh Lakhtakia (Hrsg.): Selected Papers on Linear Optical Composite Materials (= SPIE milestone series. Vol. 120). SPIE Press, Bellingham, WA, USA 1996, ISBN 0-8194-2152-9.
• Choy Tuck: Effective Medium Theory. Oxford University Press, Oxford 1999, ISBN 0-19-851892-7.
• Akhlesh Lakhtakia (Hrsg.): Electromagnetic Fields in Unconventional Materials and Structures. Wiley-Interscience, New York 2000, ISBN 0-471-36356-1.
• A. Weiglhofer, Akhlesh Lakhtakia (Hrsg.): Introduction to Complex Mediums for Optics and Electromagnetics. SPIE Press, Bellingham, WA, USA 2003, ISBN 0-8194-4947-4.
• T. G. Mackay, A. Lakhtakia: Electromagnetic Anisotropy and Bianisotropy: A Field Guide, 1. Auflage, World Scientific, Singapore 2010, ISBN 978-981-4289-61-0.

Einzelnachweise

1. Cai Wenshan, Vladimir Shalaev: Optical Metamaterials: Fundamentals and Applications. Springer, 2009, ISBN 978-1-4419-1150-6, Chapter 2.4 Electric Metamaterials (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
2. M. Wang, N. Pan: Predictions of effective physical properties of complex multiphase materials. In: Materials Science and Engineering: R: Reports. Band 63, Nr. 1, 20. Dezember 2008, S. 1–30, doi:10.1016/j.mser.2008.07.001 (ningpan.net [PDF]).
3. A. Piegari: Optical thin films and coatings -- From materials to applications (= Woodhead Publishing Series in Electronic and Optical Materials. Band 49). Woodhead Publ., London 2013, ISBN 978-0-85709-594-7, S. 154.
4. A. H. Sihvola: Electromagnetic Mixing Formulas and Applications. The Institution of Electrical Engineers, London 1999, ISBN 0-85296-772-1.
5. D. A. G. Bruggeman: Berechnung verschiedener physikalischer Konstanten von heterogenen Substanzen. I. Dielektrizitätskonstanten und Leitfähigkeiten der Mischkörper aus isotropen Substanzen. In: Annalen der Physik, 5. Folge. Band 24, Nr. 7, Dezember 1935, S. 636--664, doi:10.1002/andp.19354160705 (Digitalisat auf Gallica).
6. D. A. G. Bruggeman: Berechnung verschiedener physikalischer Konstanten von heterogenen Substanzen. I. Dielektrizitätskonstanten und Leitfähigkeiten der Mischkörper aus isotropen Substanzen (Schluss). In: Annalen der Physik, 5. Folge. Band 24, Nr. 8, Dezember 1935, S. 665--679, doi:10.1002/andp.19354160705 (Digitalisat auf Gallica).
7. Rolf Landauer: Electrical conductivity in inhomogeneous media. In: AIP Conference Proceedings. Band 40. American Institute of Physics, April 1978, S. 2–45, doi:10.1063/1.31150.
8. C. G. Granqvist, O. Hunderi: Conductivity of inhomogeneous materials: Effective-medium theory with dipole-dipole interaction. In: Physical Review B. Band 18, Nr. 4, August 1978, S. 1554–1561, doi:10.1103/PhysRevB.18.1554.
9. Werner S. Weiglhofer, Akhlesh Lakhtakia, Bernhard Michel: Maxwell Garnett and Bruggeman formalisms for a particulate composite with bianisotropic host medium. In: Microwave and Optical Technology Letters. Band 15, Nr. 4, Juli 1997, S. 263–266, doi:10.1002/(SICI)1098-2760(199707)15:4<263::AID-MOP19>3.0.CO;2-8.
10. Bertrand I. Halperin, David Bergman: Heterogeneity and Disorder: Contributions of Rolf Landauer
11. D. Stroud: Generalized effective-medium approach to the conductivity of an inhomogeneous material. In: Physical Review B. Band 12, Nr. 8, Oktober 1975, S. 3368–3373, doi:10.1103/PhysRevB.12.3368.
12. A. Davidson, M. Tinkham: Phenomenological equations for the electrical conductivity of microscopically inhomogeneous materials. In: Physical Review B. Band 13, Nr. 8, April 1976, S. 3261–3267, doi:10.1103/PhysRevB.13.3261.
13. Scott Kirkpatrick: Percolation and Conduction. In: Reviews of Modern Physics. Band 45, Nr. 4, Oktober 1973, S. 574–588, doi:10.1103/RevModPhys.45.574.
14. Richard Zallen: The Physics of Amorphous Solids. Wiley-Interscience, 1998, ISBN 0-471-29941-3.
15. John Rozen, René Lopez, Richard F. Haglund, Leonard C. Feldman: Two-dimensional current percolation in nanocrystalline vanadiumdioxide films. In: Applied Physics Letters. Band 88, Nr. 8, 20. Februar 2006, S. 081902, doi:10.1063/1.2175490.
16. Tuck C. Choy: Effective Medium Theory. Clarendon Press, Oxford 1999, ISBN 978-0-19-851892-1.
17. Ohad Levy, David Stroud: Maxwell Garnett theory for mixtures of anisotropic inclusions: Application to conducting polymers. In: Physical Review B. Band 56, Nr. 13, Oktober 1997, S. 8035, doi:10.1103/PhysRevB.56.8035.
18. Tong Liu, Y. u. Pang, M. u. Zhu, Satoru Kobayashi: Microporous Co@CoO nanoparticles with superior microwave absorption properties. In: Nanoscale. Band 6, Nr. 4, 2014, S. 2447--2454, doi:10.1039/C3NR05238A.
19. Peter Uhd Jepsen, Bernd M. Fischer, Andreas Thoman, Hanspeter Helm, J. Y. Suh, René Lopez, R. F. Haglund: Metal-insulator phase transition in a thin film observed with terahertz spectroscopy. In: Physical Review B. Band 74, Nr. 20, November 2006, S. 205103, doi:10.1103/PhysRevB.74.205103 (dtu.dk).
20. B. A. Belyaev, V. V. Tyurnev: Electrodynamic Calculation of Effective Electromagnetic Parameters of a Dielectric Medium with Metallic Nanoparticles of a Given Size. In: Journal of Experimental and Theoretical Physics. Band 127, Nr. 4, Oktober 2018, S. 608–619, doi:10.1134/S1063776118100114.
21. Ankush Kumar, N. S. Vidhyadhiraja, Giridhar U. Kulkarni: Current distribution in conducting nanowire networks. In: Journal of Applied Physics. Band 122, Nr. 4, 28. Juli 2017, S. 045101, doi:10.1063/1.4985792.