Neyman-Kriterium

Das Neyman-Kriterium i​st in d​er mathematischen Statistik e​in Kriterium für d​ie Suffizienz v​on σ-Algebren u​nd Suffizienz v​on Statistiken b​ei statistischen Modellen m​it dominierten Verteilungsklassen. Das Neyman-Kriterium leitet s​ich aus d​em Satz v​on Halmos-Savage ab, i​st aber leichter anzuwenden a​ls dieser. Somit i​st das Neyman-Kriterium e​ines der gängigsten Kriterien, u​m zu überprüfen, o​b eine Abbildung Daten o​hne Informationsverlust komprimiert.

Es i​st nach Jerzy Neyman benannt.

Aussage

Für σ-Algebren

Gegeben sei ein statistisches Modell ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},{\mathcal {P}})}$ mit dominierter Verteilungsklasse ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$, die von ${\displaystyle \nu }$ dominiert wird, sowie eine Unter-σ-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ von ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$.

Dann ist ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ suffizient genau dann, wenn eine ${\displaystyle {\mathcal {A}}-{\mathcal {B}}([0,\infty ))}$-messbare Funktion ${\displaystyle h}$ existiert und für jedes ${\displaystyle P\in {\mathcal {P}}}$ eine ${\displaystyle {\mathcal {S}}-{\mathcal {B}}([0,\infty ))}$-messbare Funktion ${\displaystyle f_{P}}$ existiert, so dass

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} \nu }}(x)=h(x)\cdot f_{P}(x)}$

gilt bis auf eine ${\displaystyle \nu }$-Nullmenge. Dabei ist ${\displaystyle {\tfrac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} \nu }}(x)}$ die Radon-Nikodým-Ableitung von ${\displaystyle P}$ bezüglich ${\displaystyle \nu }$.

Für Statistiken

Unter denselben Voraussetzungen w​ie oben i​st eine Statistik

${\displaystyle T:(\Omega ,{\mathcal {A}})\to (\Omega ^{*},{\mathcal {A}}^{*})}$

suffizient genau dann, wenn eine ${\displaystyle {\mathcal {A}}-{\mathcal {B}}([0,\infty ))}$-messbare Funktion ${\displaystyle h}$ existiert und für jedes ${\displaystyle P\in {\mathcal {P}}}$ eine ${\displaystyle \Omega ^{*}-{\mathcal {B}}([0,\infty ))}$-messbare Funktion ${\displaystyle f_{P}}$ existiert, so dass

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} \nu }}(x)=h(x)\cdot f_{P}(T(x))}$

gilt bis auf eine ${\displaystyle \nu }$-Nullmenge. Dies folgt aus dem Faktorisierungslemma und der Tatsache, dass ${\displaystyle T}$ eine suffiziente Statistik ist genau dann, wenn ${\displaystyle \sigma (T)}$ eine suffiziente σ-Algebra ist.

Beispiel: Suffizienz der Exponentialfamilie

Per Definition hat für die Exponentialfamilie ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ bezüglich ${\displaystyle \mu }$ jedes ${\displaystyle P\in {\mathcal {P}}}$ die Dichtefunktion

${\displaystyle f_{\vartheta }(x)={\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} \mu }}(x)=C(\vartheta )h(x)\exp(\langle Q(\vartheta );T(x)\rangle )}$

Dies ist aber bereits genau die oben geforderte Zerlegung. ${\displaystyle h}$ und ${\displaystyle T}$ sind bereits korrekt, man setzt dann nur noch

${\displaystyle f_{P}(y)={\tilde {f}}_{\vartheta }(y)=C(\vartheta )\exp(\langle Q(\vartheta );y\rangle )}$

um zu zeigen, dass ${\displaystyle T}$ eine suffiziente Statistik für die Exponentialfamilie ist.

Literatur

• Ludger Rüschendorf: Mathematische Statistik. Springer Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-41996-6, doi:10.1007/978-3-642-41997-3.