Mellin-Transformation

Unter d​er Mellin-Transformation versteht m​an in d​er Analysis, e​inem Teilgebiet d​er Mathematik, e​ine mit d​er Fourier-Transformation verwandte Integraltransformation. Sie i​st benannt n​ach dem finnischen Mathematiker Hjalmar Mellin.

Geschichte

Im Gegensatz z​ur Fourier- u​nd zur Laplace-Transformation, d​ie zum Lösen physikalischer Probleme entwickelt wurden, w​urde die Mellin-Transformation i​n einem mathematischen Kontext entwickelt. Ein erstes Auftreten dieser Integraltransformation findet s​ich in e​iner Veröffentlichung v​on Bernhard Riemann, d​er sie z​ur Untersuchung seiner Zeta-Funktion einsetzte. Eine e​rste systematische Formulierung u​nd Untersuchung d​er Mellin-Transformation u​nd ihrer Rücktransformation g​eht auf d​en finnischen Mathematiker R. Hjalmar Mellin zurück. Im Bereich d​er speziellen Funktionen entwickelte e​r Methoden, u​m hypergeometrische Differentialgleichungen z​u lösen u​nd asymptotische Entwicklungen herzuleiten.[1]

Definition

Die Mellin-Transformierte einer auf der positiven reellen Achse definierten Funktion ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} }$ ist definiert als die Funktion

${\displaystyle M_{f}(s):=\int \limits _{0}^{\infty }f(t)t^{s-1}\mathrm {d} t}$

für komplexe Zahlen ${\displaystyle s}$, sofern dieses Integral konvergiert. In der Literatur findet man die Transformierte auch mit einem Normierungsfaktor ${\displaystyle {\tfrac {1}{\Gamma (s)}}}$, also

${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (s)}}\int \limits _{0}^{\infty }f(t)t^{s-1}\mathrm {d} t.}$

Dabei ist ${\displaystyle \Gamma }$ die Gamma-Funktion.

Rücktransformation

Unter d​en folgenden Bedingungen i​st die Rücktransformation

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\int \limits _{c-\mathrm {i} \infty }^{c+\mathrm {i} \infty }M_{f}(s)x^{-s}\mathrm {d} s}$

von ${\displaystyle M_{f}(s)}$ zu ${\displaystyle f(x)}$ für jedes reelle ${\displaystyle c}$ mit ${\displaystyle b>c>a>0}$ möglich. Hierbei seien ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ zwei positive reelle Zahlen.

• das Integral ${\displaystyle M_{f}(s)=\int _{0}^{\infty }f(x)x^{s-1}\mathrm {d} x}$ ist in dem Streifen ${\displaystyle S=\{s\in \mathbb {C} \ |\ a<\Re (s)<b\}}$ absolut konvergent
• ${\displaystyle M_{f}(s)}$ ist in dem Streifen ${\displaystyle S=\{s\in \mathbb {C} \ |\ a<\Re (s)<b\}}$ analytisch
• der Ausdruck ${\displaystyle M_{f}(c\pm \mathrm {i} t)}$ strebt für ${\displaystyle t\to \infty }$ und jedem beliebigen Wert ${\displaystyle c}$ zwischen ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ gleichmäßig gegen 0
• die Funktion ${\displaystyle f(x)}$ ist auf der positiven reellen Achse stückweise stetig, wobei im Falle unstetiger Sprungstellen jeweils der Mittelwert der beidseitigen Grenzwerte genommen werden soll (Treppenfunktion)

Beziehung zur Fourier-Transformation

Die Mellin-Transformation ist eng verwandt mit der Fourier-Transformation. Substituiert man nämlich im obigen Integral ${\displaystyle t=e^{x}}$, setzt man ${\displaystyle F(x)=f(e^{x})}$ und bezeichnet man die inverse Fourier-Transformierte der Funktion ${\displaystyle F}$ mit ${\displaystyle {\widehat {F}}}$, so ist für reelle ${\displaystyle s}$

${\displaystyle M_{f}(\mathrm {i} s)={\sqrt {2\pi }}{\widehat {F}}(s)}$.

Beispiel zur Dirichletreihe

Mittels der Mellin-Transformation lassen sich eine Dirichletreihe ${\displaystyle f}$ und eine Potenzreihe ${\displaystyle F}$ zueinander in Beziehung setzen. Es seien

${\displaystyle f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n^{-s}}$ und ${\displaystyle F(z)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}z^{n}}$

mit den gleichen ${\displaystyle a_{n}}$. Dann gilt

${\displaystyle f(s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int \limits _{0}^{\infty }F(e^{-t})t^{s-1}\mathrm {d} t}$.

Setzt man hierin zum Beispiel alle ${\displaystyle a_{n}=1}$, so ist ${\displaystyle f}$ die riemannsche Zetafunktion, und man erhält

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {t^{s-1}}{e^{t}-1}}\mathrm {d} t}$.

Literatur

• M. Koecher, A. Krieg, Elliptische Funktionen und Modulformen, Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 1998, ISBN 3-540-63744-3.
• E. C. Titchmarsh, Introduction to the Theory of Fourier Integrals, Chelsea Publishing Company, 3. Auflage 1986, ISBN 978-0-8284-0324-5.
• D. Zagier, Zetafunktionen und quadratische Körper, Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 1981, ISBN 3-540-10603-0.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Mellin Transform. In: MathWorld (englisch).

Einzelnachweise

1. Jacqueline Bertrand, Pierre Bertrand, Jean-Philippe Ovarlez: The Transforms and Applications Handbook. Hrsg.: Alexander D. Poularikas. 2. Auflage. CRC Press, 2000, ISBN 978-0-8493-8595-7, Kapitel 11.1.