Quantendilogarithmus

Der Quantendilogarithmus ist eine Funktion der mathematischen Physik. Er ist neben dem q-Exponential eine von zwei möglichen “Quantisierungen” des klassischen Dilogarithmus, die beide durch Differenzenrelationen charakterisiert sind und im semiklassischen Limit den Dilogarithmus geben. Er wurde 1899 von Barnes eingeführt[1] und in der zweiten Hälfte des 20. Jahrhunderts unter anderem in Arbeiten von Shintani, Baxter, Faddeev und Kashaev verwendet.

Die klassische Dilogarithmus-Funktion k​ommt in d​er konformen Feldtheorie u​nd in Arbeiten über e​xakt lösbare Modelle vor. Insbesondere können d​ie effektiven zentralen Ladungen gewisser konformen Feldtheorien a​ls endliche Summen v​on Dilogarithmen ausgedrückt werden. Quantendilogarithmen werden dagegen b​ei der Untersuchung integrabler Quantenfeldtheorien a​uf Gittern verwendet.

Definition

Es sei ${\displaystyle \hbar >0}$. Der Quantendilogarithmus

${\displaystyle \Phi ^{\hbar }\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} }$

ist definiert durch

${\displaystyle \Phi ^{\hbar }(z):=\exp \left(-{\frac {1}{4}}\int _{C}{\frac {e^{-ixz}}{\sinh(\pi x)\sinh(\pi \hbar x)}}{\frac {dx}{x}}\right)}$,

wobei ${\displaystyle C\subset \mathbb {C} }$ eine entlang der reellen Achse von ${\displaystyle -\infty }$ nach ${\displaystyle \infty }$ verlaufende und den Nullpunkt von oben umlaufende Kurve ist, zum Beispiel ${\displaystyle C=\left[-\infty ,-1\right]\cup \left\{e^{it}\colon \pi \geq t\geq 0\right\}\cup \left[1,\infty \right]}$.

(Für j​ede Kurve m​it diesen Eigenschaften ergibt Integration dieses Integranden über d​ie Kurve denselben Wert.)

Eigenschaften

${\displaystyle 2\pi i\hbar d\log \Phi ^{\hbar }(z)=\phi ^{\hbar }(z)dz}$ (Hier bezeichnet ${\displaystyle \phi ^{\hbar }(z)}$ den Quantenlogarithmus.)

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow -\infty }\Phi ^{\hbar }(x+iy)=1\ \ \forall \ y\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle \lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\Phi ^{\hbar }(z)}{\exp {\frac {-Li_{2}(-e^{z})}{2\pi \hbar }}}}=1}$ (Hier bezeichnet ${\displaystyle Li_{2}}$ den klassischen Dilogarithmus.)

${\displaystyle \Phi ^{\hbar }(z)\Phi ^{\hbar }(-z)=\exp \left({\frac {z^{2}}{4\pi i\hbar }}\right)e^{-{\frac {\pi i}{12}}(\hbar +\hbar ^{-1})}}$

${\displaystyle {\overline {\Phi ^{\hbar }(z)}}=(\Phi ^{\hbar }({\overline {z}}))^{-1}}$, insbesondere ${\displaystyle \mid \Phi ^{\hbar }(z)\mid =1\ \ \forall \ z\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle \Phi ^{\hbar }(z)=\Phi ^{\frac {1}{\hbar }}\left({\frac {z}{\hbar }}\right)}$

${\displaystyle \Phi ^{\hbar }(z+2\pi i\hbar )=\Phi ^{\hbar }(z)(1+e^{\pi ih+z})}$

${\displaystyle \Phi ^{\hbar }(z+2\pi i)=\Phi ^{\hbar }(z)(1+e^{\frac {\pi i+z}{\hbar }})}$

${\displaystyle \Phi ^{1}(z)=e^{({\frac {\pi ^{2}}{6}}-Li_{2}(1-e^{z}))/2\pi i}}$

${\displaystyle \Phi ^{\hbar }(z)=\Phi ^{\hbar +1}(z+\pi i)\Phi ^{\frac {\hbar }{\hbar +1}}(z-\pi \hbar i)=\Phi ^{\hbar +1}(z-\pi i)\Phi ^{\frac {\hbar }{\hbar +1}}(z+\pi \hbar i)}$

${\displaystyle \Pi _{l=-r}^{r}\Pi _{m=-s}^{s}\Phi ^{\hbar }\left(z+{\frac {2\pi i}{2r+1}}l+{\frac {2\pi i\hbar }{2s+1}}m\right)=\Phi ^{{\frac {2r+1}{2s+1}}\hbar }((2r+1)z)}$

Die 1-Form ${\displaystyle \Phi ^{\hbar }(z)dz}$ ist meromorph, sie hat einfache Polstellen in den Punkten ${\displaystyle -(2n-1)\hbar \pi i-(2m-1)\pi i}$ mit ${\displaystyle n,m\in \mathbb {N} }$ und Nullstellen in den Punkten ${\displaystyle (2n-1)\hbar \pi i+(2m-1)\pi i}$ mit ${\displaystyle n,m\in \mathbb {N} }$.

Literatur

• L. Faddeev, R. Kashaev: Quantum dilogarithm. Mod. Phys. Lett. A 9, No. 5, 427–434 (1994).
• V. V. Fock, A. B. Goncharov: The quantum dilogarithm and representations of quantum cluster varieties. Invent. Math. 175 (2009), no. 2, 223–286. (Kapitel 4.2)

Einzelnachweise

1. E. W. Barnes: The genesis of the double gamma function. Proc. London Math. Soc. 31, 358–381 (1899)