Deviationsgleichung

Die Deviationsgleichung o​der geodätische Abweichung i​st eine Gleichung d​er Riemannschen Geometrie bzw. Allgemeinen Relativitätstheorie u​nd beschreibt d​ie Änderung d​es Abstandes zweier benachbarter Geodäten m​it Hilfe d​es Riemannschen Krümmungstensors. Mittels dieser Gleichung k​ann festgestellt werden, o​b und i​n welcher Art e​in Raum gekrümmt ist, i​ndem die Relativbeschleunigung zweier Probekörper a​uf benachbarten Geodäten gemessen wird. Wird k​eine Relativbeschleunigung zwischen z​wei Geodäten gemessen, s​o ist d​er Raum flach. Die Relativbeschleunigung zwischen d​en Probekörpern rührt n​ur von d​er Krümmung d​es Raumes her, n​icht von i​hrer gegenseitigen gravitativen Anziehung, d​ie bei e​inem realen Experiment n​och zusätzlich wirken würde.

Formulierung der Gleichung

Die mathematische Formulierung d​er Deviationsgleichung lautet:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} ^{2}V^{\alpha }}{\mathrm {D} \tau ^{2}}}={\frac {\partial x^{\beta }}{\partial \tau }}{\frac {\partial x^{\mu }}{\partial \tau }}V^{\nu }R_{\,\,\mu \beta \nu }^{\alpha }+{\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} \tau }}\left(T_{\kappa \lambda }^{\alpha }{\frac {\partial x^{\kappa }}{\partial \tau }}V^{\lambda }\right)}$

und vereinfacht s​ich in e​inem torsionsfreien Raum[1] zu

${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} ^{2}V^{\alpha }}{\mathrm {D} \tau ^{2}}}={\frac {\partial x^{\beta }}{\partial \tau }}{\frac {\partial x^{\mu }}{\partial \tau }}V^{\nu }R_{\,\,\mu \beta \nu }^{\alpha }}$

Die Symbole i​n den Gleichungen bedeuten d​abei folgendes:

• ${\displaystyle x^{\alpha }(\tau )}$ bezeichnet die Geodäte und ${\displaystyle \textstyle {\tfrac {\partial x^{\alpha }}{\partial \tau }}}$ deren Tangentialvektor.
• ${\displaystyle \textstyle V^{\alpha }{\mbox{d}}p={\tfrac {\partial x^{\alpha }}{\partial p}}\mathrm {d} p}$ ist der Abstandsvektor zweier benachbarter Geodäten und damit ${\displaystyle \textstyle {\tfrac {\partial x^{\alpha }}{\partial p}}}$ die lineare Änderung des Abstandes zweier infinitesimal benachbarter Geodäten.
• ${\displaystyle T_{\kappa \lambda }^{\alpha }}$ ist der Torsionstensor des Raumes, insbesondere ist ${\displaystyle T_{\kappa \lambda }^{\alpha }A^{\kappa }B^{\lambda }}$ der Vektor, der das von ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ aufgespannte Parallelogramm schließt.[2] Dieser Vektor ist in torsionsfreien Räumen gleich Null.
• ${\displaystyle R_{\mu \beta \nu }^{\alpha }}$ ist der Riemannsche Krümmungstensor.
• Außerdem wird die Einsteinsche Summenkonvention verwendet, die griechischen Indizes laufen von ${\displaystyle 0\dots 3}$ und ${\displaystyle x^{\alpha }}$ sowie ${\displaystyle V^{\alpha }}$ sind Tensoren 1. Stufe.
• ${\displaystyle \textstyle {\tfrac {\mathrm {D} V^{\alpha }}{\mathrm {D} \tau }}}$ bezeichnet die Kovariante Ableitung.

Im flachen Raum wächst der Abstand zweier sich schneidenden Geodäten ${\displaystyle x^{\alpha }(\tau ,p_{1})}$ und ${\displaystyle x^{\alpha }(\tau ,p_{2})}$ proportional zu ${\displaystyle \tau }$[3]. Ist dies nicht der Fall, so ist dies ein Symptom für die Krümmung des Raumes und entspricht der obigen Gleichung bei nichtverschwindendem Krümmungstensor.

Literatur

• Hans Stephani: Allgemeine Relativitätstheorie. 4. Auflage. Wiley-VCH, 1991, ISBN 3-326-00083-9

Einzelnachweise

1. Hendrik van Hees: Physik und das Drumherum, Abschnitt Geraden (Memento des Originals vom 23. Juli 2013 im Internet Archive)  Info: Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht geprüft. Bitte prüfe Original- und Archivlink gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis.
2. Hendrik van Hees: Physik und das Drumherum, Abschnitt Torsion und Krümmung (Memento des Originals vom 5. Mai 2010 im Internet Archive)  Info: Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht geprüft. Bitte prüfe Original- und Archivlink gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis.
3. Geometrie der Raumzeit von Rainer Oloff, S. 141