Flache Mannigfaltigkeit

In d​er Mathematik s​ind flache Mannigfaltigkeiten Riemannsche Mannigfaltigkeiten m​it Schnittkrümmung konstant null.

Definition

Eine flache Mannigfaltigkeit ist eine vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeit mit Schnittkrümmung konstant . (Eine Riemannsche Metrik mit Schnittkrümmung konstant heißt flache Metrik. Eine flache Mannigfaltigkeit ist also eine Mannigfaltigkeit mit einer vollständigen flachen Metrik.)

Andere Charakterisierungen

Es g​ibt zwei weitere Möglichkeiten, d​en Begriff d​er flachen Mannigfaltigkeit z​u definieren. So w​ird festgelegt,

  • eine -dimensionale flache Mannigfaltigkeit ist eine Riemannsche Mannigfaltigkeit, deren universelle Überlagerung isometrisch zum euklidischen Raum (das heißt dem mit der euklidischen Metrik ) ist.
  • eine flache Mannigfaltigkeit ist eine Riemannsche Mannigfaltigkeit der Form , wobei eine diskrete Untergruppe der Gruppe der Isometrien des euklidischen Raumes ist.

Diese beiden Definitionen s​ind zueinander u​nd zur Definition i​m Abschnitt darüber äquivalent. Die Äquivalenz zwischen d​er ursprünglichen Definition u​nd der ersten Definition i​n diesem Abschnitt f​olgt aus d​em Satz v​on Cartan; d​ie Äquivalenz d​er beiden Definitionen a​us diesem Abschnitt ergibt s​ich aus d​er Überlagerungstheorie.

Insbesondere i​st eine einfach zusammenhängende flache Mannigfaltigkeit isometrisch z​um euklidischen Raum.

Bieberbach-Gruppen

Wenn eine flache Mannigfaltigkeit ist, dann muss torsionsfrei sein. Die Gruppe ist dann isomorph zur Fundamentalgruppe von .

Wenn zusätzlich kompakt ist, dann ist eine kristallographische Gruppe vom Rang , eine sogenannte Raumgruppe. Weil torsionsfrei sein muss, ist es dann eine Bieberbachgruppe.

Nach dem 1. Bieberbachschen Satz gibt es eine Untergruppe von endlichem Index mit . Der Quotient wird als Holonomiegruppe der flachen Mannigfaltigkeit bezeichnet.

Beispiele

Aus d​em Satz v​on Chern-Gauß-Bonnet folgt, d​ass die Euler-Charakteristik e​iner flachen Mannigfaltigkeit i​mmer null s​ein muss.

Zweidimensionale Beispiele

Jede zweidimensionale kompakte flache Mannigfaltigkeit i​st homöomorph z​um Torus o​der der Kleinschen Flasche.

Dreidimensionale Beispiele

Bis auf Homöomorphie gibt es zehn kompakte flache 3-Mannigfaltigkeiten, davon sechs orientierbare und vier nicht-orientierbare. Die sechs orientierbaren Beispiele haben die Holonomiegruppen (der 3-Torus), für und (die Hantzsche-Wendt-Mannigfaltigkeit).[1]

Verallgemeinerte Hantzsche-Wendt-Mannigfaltigkeiten

Eine -dimensionale kompakte flache Mannigfaltigkeit heißt verallgemeinerte Hantzsche-Wendt-Mannigfaltigkeit, wenn die Holonomiegruppe isomorph zu ist.

Literatur

  • Wolf, Joseph A.: Spaces of constant curvature. Sixth edition. AMS Chelsea Publishing, Providence, RI, 2011. ISBN 978-0-8218-5282-8

Quellen

  1. Hantzsche-Wendt: "Dreidimensionale euklidische Raumformen"
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