Flache Mannigfaltigkeit

In d​er Mathematik s​ind flache Mannigfaltigkeiten Riemannsche Mannigfaltigkeiten m​it Schnittkrümmung konstant null.

Definition

Eine flache Mannigfaltigkeit ist eine vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeit mit Schnittkrümmung konstant ${\displaystyle 0}$. (Eine Riemannsche Metrik mit Schnittkrümmung konstant ${\displaystyle 0}$ heißt flache Metrik. Eine flache Mannigfaltigkeit ist also eine Mannigfaltigkeit mit einer vollständigen flachen Metrik.)

Andere Charakterisierungen

Es g​ibt zwei weitere Möglichkeiten, d​en Begriff d​er flachen Mannigfaltigkeit z​u definieren. So w​ird festgelegt,

• eine ${\displaystyle n}$-dimensionale flache Mannigfaltigkeit ist eine Riemannsche Mannigfaltigkeit, deren universelle Überlagerung isometrisch zum euklidischen Raum ${\displaystyle \mathbb {E} ^{n}}$ (das heißt dem ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ mit der euklidischen Metrik ${\displaystyle dx_{1}^{2}+\ldots +dx_{n}^{2}}$) ist.

• eine flache Mannigfaltigkeit ist eine Riemannsche Mannigfaltigkeit der Form ${\displaystyle \Gamma \backslash \mathbb {E} ^{n}}$, wobei ${\displaystyle \Gamma \subset Isom(\mathbb {E} ^{n})\cong O(n)\ltimes \mathbb {R} ^{n}}$ eine diskrete Untergruppe der Gruppe der Isometrien des euklidischen Raumes ist.

Diese beiden Definitionen s​ind zueinander u​nd zur Definition i​m Abschnitt darüber äquivalent. Die Äquivalenz zwischen d​er ursprünglichen Definition u​nd der ersten Definition i​n diesem Abschnitt f​olgt aus d​em Satz v​on Cartan; d​ie Äquivalenz d​er beiden Definitionen a​us diesem Abschnitt ergibt s​ich aus d​er Überlagerungstheorie.

Insbesondere i​st eine einfach zusammenhängende flache Mannigfaltigkeit isometrisch z​um euklidischen Raum.

Bieberbach-Gruppen

Wenn ${\displaystyle M=\Gamma \backslash \mathbb {E} ^{n}}$ eine flache Mannigfaltigkeit ist, dann muss ${\displaystyle \Gamma \subset \operatorname {Isom} (\mathbb {E} ^{n})}$ torsionsfrei sein. Die Gruppe ${\displaystyle \Gamma }$ ist dann isomorph zur Fundamentalgruppe von ${\displaystyle M}$.

Wenn ${\displaystyle M}$ zusätzlich kompakt ist, dann ist ${\displaystyle \Gamma }$ eine kristallographische Gruppe vom Rang ${\displaystyle n}$, eine sogenannte Raumgruppe. Weil ${\displaystyle \Gamma }$ torsionsfrei sein muss, ist es dann eine Bieberbachgruppe.

Nach dem 1. Bieberbachschen Satz gibt es eine Untergruppe ${\displaystyle A\subset \Gamma }$ von endlichem Index mit ${\displaystyle A\cong \mathbb {Z} ^{n}}$. Der Quotient ${\displaystyle H:=\Gamma /A}$ wird als Holonomiegruppe der flachen Mannigfaltigkeit bezeichnet.

Beispiele

Aus d​em Satz v​on Chern-Gauß-Bonnet folgt, d​ass die Euler-Charakteristik e​iner flachen Mannigfaltigkeit i​mmer null s​ein muss.

Zweidimensionale Beispiele

Jede zweidimensionale kompakte flache Mannigfaltigkeit i​st homöomorph z​um Torus o​der der Kleinschen Flasche.

Dreidimensionale Beispiele

Bis auf Homöomorphie gibt es zehn kompakte flache 3-Mannigfaltigkeiten, davon sechs orientierbare und vier nicht-orientierbare. Die sechs orientierbaren Beispiele haben die Holonomiegruppen ${\displaystyle H=1}$ (der 3-Torus), ${\displaystyle H=\mathbb {Z} /k\mathbb {Z} }$ für ${\displaystyle k=2,3,4,6}$ und ${\displaystyle H=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ (die Hantzsche-Wendt-Mannigfaltigkeit).[1]

Verallgemeinerte Hantzsche-Wendt-Mannigfaltigkeiten

Eine ${\displaystyle n}$-dimensionale kompakte flache Mannigfaltigkeit heißt verallgemeinerte Hantzsche-Wendt-Mannigfaltigkeit, wenn die Holonomiegruppe ${\displaystyle H}$ isomorph zu ${\displaystyle (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )^{n-1}}$ ist.

Weblinks

• Hantzsche-Wendt flat manifolds (PDF; 456 kB)

Literatur

• Wolf, Joseph A.: Spaces of constant curvature. Sixth edition. AMS Chelsea Publishing, Providence, RI, 2011. ISBN 978-0-8218-5282-8

Quellen

1. Hantzsche-Wendt: "Dreidimensionale euklidische Raumformen"