Carnot-Wirkungsgrad

Der Carnot-Wirkungsgrad ${\displaystyle \eta _{c}}$, auch Carnot-Faktor genannt, ist der höchste theoretisch mögliche Wirkungsgrad bei der Umwandlung von thermischer Energie in mechanische Energie.[1] Er beschreibt den Wirkungsgrad des Carnot-Prozesses, eines vom französischen Physiker Nicolas Léonard Sadi Carnot erdachten idealen Kreisprozesses.[2]

Carnot-Wirkungsgrad (in %) in Abhängigkeit von T_k und T_h (jeweils in °C)

Berechnung

Der Wert des Carnot-Wirkungsgrades hängt ab von den Kelvin-Temperaturen ${\displaystyle T_{h}}$ (heiß) und ${\displaystyle T_{k}}$ (kalt) der Reservoirs, zwischen denen die Wärmekraftmaschine arbeitet:[1]

${\displaystyle \eta _{c}={\frac {T_{h}-T_{k}}{T_{h}}}=1-{\frac {T_{k}}{T_{h}}}}$

Der Carnot-Wirkungsgrad ist umso größer, je höher ${\displaystyle T_{h}}$ und je tiefer ${\displaystyle T_{k}}$ ist. Da ${\displaystyle T_{h}}$ nach oben und ${\displaystyle T_{k}}$ nach unten begrenzt sind, ist ein Wirkungsgrad von 100 % ausgeschlossen.

Beispiel

Der Carnot-Wirkungsgrad e​ines Prozesses, d​er zwischen 800 °C (1073,15 K) u​nd 100 °C (373,15 K) abläuft, beträgt:

${\displaystyle \eta _{c}=1-{\frac {373{,}15}{1073{,}15}}=0{,}652=65{,}2\ \%}$

Theoretische Grundlage

Eine Wärmekraftmaschine entnimmt Energie in Form von Wärme ${\displaystyle Q_{h}}$ aus einem Wärmespeicher hoher Temperatur ${\displaystyle T_{h}}$ und gibt einen Teil davon als Nutzarbeit ${\displaystyle W}$ (z. B. in Form von mechanischer Arbeit) ab. Der übrige Teil der entnommenen Energie fließt als Wärme ${\displaystyle Q_{k}}$ in einen Wärmespeicher niedrigerer Temperatur ${\displaystyle T_{k}}$. Der Wirkungsgrad ${\displaystyle \eta }$ der Wärmekraftmaschine ist definiert als Verhältnis der abgegebenen Nutzarbeit zur aufgenommenen Wärmemenge:[3]

${\displaystyle \eta ={\frac {W}{Q_{h}}}}$

Der Wirkungsgrad einer Wärmekraftmaschine wird durch den Zweiten Hauptsatz der Thermodynamik begrenzt: Bei der isothermen Entnahme der Wärme aus dem heißen Reservoir wird die Entropie ${\displaystyle S_{h}={\frac {Q_{h}}{T_{h}}}}$ auf die Maschine übertragen; auf der kalten Seite der Maschine wird die Entropie ${\displaystyle S_{k}={\frac {Q_{k}}{T_{k}}}}$ auf das kalte Reservoir übertragen.

Da i​n selbständig ablaufenden Prozessen d​ie Entropie niemals abnimmt, m​uss gelten:

${\displaystyle S_{k}\geq S_{h}}$.

Entsprechend g​ilt für d​ie Wärme:

${\displaystyle \Rightarrow Q_{k}\geq Q_{h}\,{\frac {T_{k}}{T_{h}}}}$

Berücksichtigt m​an außerdem, d​ass die gesamte Energiebilanz neutral ist

${\displaystyle Q_{k}=Q_{h}-W}$,

so f​olgt für d​ie Nutzarbeit:

${\displaystyle \Rightarrow W\leq Q_{h}(1-{\frac {T_{k}}{T_{h}}})}$

und entsprechend für d​en Wirkungsgrad:

${\displaystyle \eta \leq \eta _{c}}$.

In d​er Praxis s​ind isotherme Wärmeübergänge n​icht realisierbar, u​nd die Prozesstemperaturen weichen v​on den Reservoirtemperaturen ab. Technisch werden d​aher je n​ach Kreisprozess n​ur maximale Wirkungsgrade v​on über z​wei Drittel d​es Carnot-Wirkungsgrades erreicht.

Analoge Größen für Wärmepumpen und Kältemaschinen

→ Hauptartikel: Leistungszahl

In Wärmepumpen u​nd Kältemaschinen w​ird der entgegengesetzte Prozess betrieben: mechanische bzw. elektrische Energie w​ird aufgewendet, u​m thermische Energie v​on niedrigen a​uf höhere Temperaturen z​u heben. Daher beschreibt d​er Carnot-Wirkungsgrad h​ier nicht d​ie maximal erzielbare, sondern d​ie mindestens aufzuwendende elektrische Energie:

• Wärmepumpe: ${\displaystyle W_{\mathrm {el} }>(1-{\frac {T_{k}}{T_{h}}})\,Q_{h}}$
• Kältemaschine: ${\displaystyle W_{\mathrm {el} }>({\frac {T_{h}}{T_{k}}}-1)\,Q_{k}}$.

Die Effizienz dieser Maschinen wird folglich nicht durch den Wirkungsgrad, sondern durch Leistungszahlen ${\displaystyle \epsilon }$ beschrieben.

Bei einer Wärmepumpe (WP) wird die auf dem oberen Temperaturniveau von der Wärmepumpe abgegebene Wärme ${\displaystyle Q_{h}}$ genutzt:

${\displaystyle \epsilon _{\mathrm {WP} }={\frac {Q_{h}}{W_{\mathrm {el} }}}<\epsilon _{\mathrm {WP,c} }}$

mit

${\displaystyle \epsilon _{\mathrm {WP,c} }={\frac {1}{\eta _{c}}}={\frac {T_{h}}{T_{h}-T_{k}}}>1}$.

Bei einer Kältemaschine (KM) ist die bei der niedrigen Temperatur durch die Kältemaschine aufgenommene Wärme ${\displaystyle Q_{k}}$ die Nutzgröße:

${\displaystyle \epsilon _{\mathrm {KM} }={\frac {Q_{k}}{W_{\mathrm {el} }}}<\epsilon _{\mathrm {KM,c} }}$

mit:

${\displaystyle \epsilon _{\mathrm {KM,c} }={\frac {1}{\eta _{c}}}-1={\frac {T_{k}}{T_{h}-T_{k}}}}$.

Weblinks

• Interaktive Berechnung des Carnot-Wirkungsgrads. In: GeoGebra.

Einzelnachweise

1. Jürgen U. Keller: Technische Thermodynamik in Beispielen / Grundlagen. Walter de Gruyter, 2011, ISBN 978-3-11-084335-4, S. 188 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
2. Paul A. Tipler, Gene Mosca: Physik für Studierende der Naturwissenschaften und Technik. Springer-Verlag, 2019, ISBN 978-3-662-58281-7, S. 621 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
3. Freund, Hans-Joachim.: Lehrbuch der Physikalischen Chemie. 6., vollst. überarb. u. aktualis. Auflage. Wiley-VCH, Weinheim 2012, ISBN 978-3-527-32909-0.