Carleson-Maß

In der Mathematik ist ein Carleson-Maß eine Art von Maß auf Teilmengen des ${\displaystyle n}$-dimensionalen euklidischen Raums ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Grob gesagt ist ein Carleson-Maß auf einem Gebiet ${\displaystyle \Omega }$ ein Maß, das am Rand von ${\displaystyle \Omega }$ nicht verschwindet, wenn man es mit dem Oberflächenmaß am Rand von ${\displaystyle \Omega }$ vergleicht.

Carleson-Maße finden i​n der harmonischen Analysis u​nd der Theorie d​er partiellen Differentialgleichungen zahlreiche Anwendungen, beispielsweise b​ei der Lösung v​on Dirichlet-Problemen m​it „rauem“ Rand. Die Carleson-Bedingung i​st eng m​it der Beschränktheit d​es Poisson-Operators verbunden. Carleson-Maße s​ind nach d​em schwedischen Mathematiker Lennart Carleson benannt.

Definition

Sei ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ und sei ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ eine offene (und damit messbare) Menge mit nichtleerem Rand ${\displaystyle \partial \Omega }$. Sei μ ein Borel-Maß auf ${\displaystyle \Omega }$, und bezeichne ${\displaystyle \sigma }$ das Oberflächenmaß auf ${\displaystyle \partial \Omega }$. Das Maß ${\displaystyle \mu }$ ist ein Carleson-Maß, wenn es eine Konstante ${\displaystyle C>0}$ gibt, so dass für jeden Punkt ${\displaystyle p\in \partial \Omega }$ und jeden Radius ${\displaystyle r>0}$,

${\displaystyle \mu \left(\Omega \cap \mathbb {B} _{r}(p)\right)\leq C\sigma \left(\partial \Omega \cap \mathbb {B} _{r}(p)\right)}$

gilt, wobei

${\displaystyle \mathbb {B} _{r}(p):=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}\left|\|x-p\|_{\mathbb {R} ^{n}}<r\right.\right\}}$

die offenen Kugel mit Radius ${\displaystyle r}$ um ${\displaystyle p}$ bezeichnet.

Satz von Carleson für den Poisson-Operator

Sei ${\displaystyle D}$ die Einheitskreisscheibe in der komplexen Ebene ${\displaystyle \mathbb {C} }$ , ausgestattet mit einem Borel-Maß ${\displaystyle \mu }$. Für ${\displaystyle 1\leq p<\infty }$ sei ${\displaystyle H^{p}\partial \Omega }$ der Hardy-Raum auf dem Rand von ${\displaystyle D}$ und ${\displaystyle L^{p}(D,\mu )}$ der L^p-Raum auf ${\displaystyle D}$ für das Maß ${\displaystyle \mu }$. Der Poisson-Operator

${\displaystyle P\colon H^{p}(\partial D)\to L^{p}(D,\mu )}$

ist definiert durch

${\displaystyle P(f)(z)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\mathrm {Re} {\frac {e^{it}+z}{e^{it}-z}}f(e^{it})\,\mathrm {d} t}$.

Dann ist der lineare Operator ${\displaystyle P}$ ein beschränkter Operator dann und nur dann, wenn das Maß ${\displaystyle \mu }$ ein Carleson-Maß ist.

Carleson-Norm und verschwindende Carleson-Bedingung

Das Infimum d​er Menge d​er Konstanten C > 0, für welche d​ie Carlson-Bedingung

${\displaystyle \forall r>0,\forall p\in \partial \Omega ,\mu \left(\Omega \cap \mathbb {B} _{r}(p)\right)\leq C\sigma \left(\partial \Omega \cap \mathbb {B} _{r}(p)\right)}$

erfüllt ist, bezeichnen wir die Carleson-Norm des Maßes ${\displaystyle \mu }$.

Wenn C(R) d​urch das Infimum d​er Menge v​on allen Konstanten C > 0, für welche d​ie eingeschränkte Carlson-Bedingung

${\displaystyle \forall r\in (0,R),\forall p\in \partial \Omega ,\mu \left(\Omega \cap \mathbb {B} _{r}(p)\right)\leq C\sigma \left(\partial \Omega \cap \mathbb {B} _{r}(p)\right)}$

erfüllt ist, d​ann sagen wir, d​ass das Maß μ d​ie verschwindende Carleson-Bedingung erfüllt, w​enn C(R) → 0 für R → 0.

Quellen

• Lennart Carleson: Interpolations by bounded analytic functions and the corona problem. In: Annals of Mathematics. 76, Nr. 3, 1962, S. 547–559. doi:10.2307/1970375.