Bucketsort

Bucketsort (von englisch bucket „Eimer“) i​st ein Sortierverfahren, d​as für bestimmte Werte-Verteilungen e​ine Eingabe-Liste i​n linearer Zeit sortiert. Der Algorithmus i​st in d​rei Phasen eingeteilt:

1. Verteilung der Elemente auf die Buckets (Partitionierung)
2. Jeder Bucket wird mit einem weiteren Sortierverfahren wie beispielsweise Mergesort sortiert.
3. Der Inhalt der sortierten Buckets wird konkateniert.

Das Verfahren arbeitet a​lso out-of-place.

Algorithmus

Die Eingabe von Bucketsort ist eine Liste ${\displaystyle l}$ mit ${\displaystyle n}$ Elementen und eine Funktion ${\displaystyle f}$, die jedes Element der Liste in das halboffene Intervall ${\displaystyle [0,1[}$ monoton in der Weise abbildet, dass ${\displaystyle f(e)\leq f(e^{\prime })}$ für ${\displaystyle e}$ sortiermäßig ${\displaystyle \prec e^{\prime }}$. Basiert die Sortierreihenfolge ${\displaystyle \prec }$ auf einem Vergleich binärer Daten, kann man die Bits mit der höchsten Signifikanz nehmen. Während der Sortierung verwendet der Algorithmus ${\displaystyle k}$ „Buckets“, die in einem Array angeordnet sind. Die Verteilung der Elemente geschieht über dieses Array, indem jedes Element ${\displaystyle e}$ in den ${\displaystyle \lfloor f(e)\cdot k\rfloor }$-ten Bucket gelegt wird. Danach wird nacheinander jeder Bucket sortiert. In der letzten Phase werden die Bucket-Listen in der Reihenfolge, wie sie im Array angeordnet sind, konkateniert, was als Ergebnis die sortierte Ausgabe darstellt.

Als Pseudo-Code:

 bucket_sort(l, f, k)
   buckets = array(k)
   foreach (e in l)
     buckets[ floor(f(e) * k) ].add(e)
   r = []
   foreach (b in buckets)
     x = mergesort(b)
     r.append(x)
   return r

Der Algorithmus sortiert stabil, w​enn der für d​ie Sortierung d​er Buckets verwendete Sortier-Algorithmus, h​ier mergesort, stabil ist.

Komplexität

Die Verteilung der Funktionswerte von ${\displaystyle f}$ bestimmt die Laufzeit von Bucketsort. Die Laufzeit ist in ${\displaystyle {\mathcal {O}}(n)+\sum _{i=0}^{n-1}{\mathcal {O}}(l_{i}\log l_{i})}$ (in O-Notation), wobei ${\displaystyle l_{i}}$ die Anzahl der Elemente im ${\displaystyle i}$-ten Bucket bezeichnet. Bei einer Gleichverteilung ist die Gesamtlaufzeit in ${\displaystyle {\mathcal {O}}(n)}$, da die Summe über die Buckets linear ist und ihre Summanden als konstant (bei exakter Gleichverteilung =1) angesehen werden können. Die effiziente Laufzeit von ${\displaystyle {\mathcal {O}}(n)}$ ist nicht nur bei einer Gleichverteilung gegeben, sondern bei allen Verteilungen, nach denen der Summenterm asymptotisch linear ist. Sie wird auch als Average-Case-Laufzeit angesehen.[1]

Bei anderen Werte-Verteilungen kann die Laufzeit des Bucketsortalgorithmus von der Laufzeit des Sortier-Algorithmus dominiert werden, der zur Sortierung eines Buckets verwendet wird. Ein solcher Worst-Case tritt beispielsweise ein, wenn alle Elemente einem einzigen Bucket zugeordnet werden. Bei Verwendung von mergesort für die Sortierung der Buckets ist die Gesamtlaufzeit dann in ${\displaystyle {\mathcal {O}}(n\log n)}$.

Natürlich lässt s​ich diese Sortierung zweiter Stufe wieder a​ls Bucketsort implementieren, d​ann mit Sub-Buckets p​ro Bucket. Diese Vorgehensweise i​st im Artikel Radixsort beschrieben u​nd ist e​ine Form d​es MSD Radixsort.

Der Speicherbedarf liegt in ${\displaystyle {\mathcal {O}}(n)}$.

Siehe auch

• Hybridsort, ein Sortierverfahren, das die Eigenschaften von Bucketsort und Heapsort kombiniert.
• Sortierverfahren

Einzelnachweise

1. s. #Mehlhorn.
   Aber auch eine erschöpfende Rechnung

   ${\displaystyle n}$	Partitio- nenzahl	${\displaystyle \emptyset }$ Anzahl Vergleiche	${\displaystyle \emptyset /n}$
   2	2	0,5000	0,25000
   3	3	0,9630	0,32099
   4	5	1,4167	0,35417
   5	7	1,8675	0,37349
   6	11	2,3169	0,38616
   7	15	2,7657	0,39510
   8	22	3,2140	0,40175
   9	30	3,6620	0,40689
   10	42	4,1098	0,41098
   11	56	4,5575	0,41432
   12	77	5,0051	0,41709
   13	101	5,4526	0,41943
   14	135	5,9000	0,42143
   15	176	6,3474	0,42316
   16	231	6,7947	0,42467
   17	297	7,2420	0,42600
   18	385	7,6893	0,42718
   19	490	8,1366	0,42824
   20	627	8,5838	0,42919
   21	792	9,0310	0,43005
   22	1002	9,4782	0,43083
   23	1255	9,9254	0,43154
   24	1575	10,373	0,43219
   25	1958	10,820	0,43279
   26	2436	11,267	0,43334
   27	3010	11,714	0,43386
   28	3718	12,161	0,43433
   29	4565	12,608	0,43477
   30	5604	13,056	0,43518
   31	6842	13,503	0,43557
   32	8349	13,950	0,43593
   33	10143	14,397	0,43627

   über alle Permutationen zeigt, dass bis zu einer Elementeanzahl von ${\displaystyle n\leq 33}$ im Mittel weniger als ${\displaystyle n/2}$ Vergleiche zum vollständigen Sortieren erforderlich sind.

Literatur

• Kurt Mehlhorn, Peter Sanders: Algorithms and Data Structures. The Basic Toolbox. Springer, Berlin/Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-77977-3, doi:10.1007/978-3-540-77978-0. 5.6 Breaking the Lower Bound
• Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, Clifford Stein: Introduction to Algorithms. 2. Auflage. MIT Press, Cambridge MA 2001, ISBN 0-262-03293-7, S. 174.
• Donald E. Knuth: The Art of Computer Programming: Volume 3 Sorting and Searching. 2. Auflage. Addison-Wesley, Reading MA 1997, ISBN 0-201-89685-0, S. 169.
• Apostolos Burnetas und Daniel Solow und Rishi Agarwal: An analysis and implementation of an efficient in-place bucket sort. In: Acta Informatica. Band 34, Nr. 9, 1997, S. 687–700, doi:10.1007/s002360050103 (englisch, Die Bucketsort-Variante wird als Groupsort bezeichnet).
• E. J. Isaac und R. C. Singleton: Sorting by Address Calculation. In: Journal of the ACM. Band 3, Nr. 3, Juli 1956, S. 169–174, doi:10.1145/320831.320834 (englisch).