Bishop-Rand

Der Bishop-Rand, alternativ a​uch minimaler Rand genannt, i​st ein Begriff a​us der mathematischen Theorie d​er Banachalgebren. Er g​eht auf Errett Bishop zurück, d​er diese Menge d​azu nutzte, d​en Choquet-Rand i​n bestimmten Fällen z​u charakterisieren. Es handelt s​ich um d​ie minimale Menge, d​ie in j​edem Rand e​iner kommutativen Banachalgebra enthalten ist. Man spricht d​aher auch v​om minimalen Rand. Man beachte, d​ass es s​ich im Allgemeinen n​icht um e​inen echten Rand handelt, e​r kann i​m Extremfall s​ogar leer sein, w​ie unten d​urch ein Beispiel belegt wird.

Definition

Es sei ${\displaystyle X}$ ein kompakter Hausdorffraum und ${\displaystyle C(X)}$ die Banachalgebra der stetigen Funktionen ${\displaystyle X\rightarrow \mathbb {C} }$ mit der Supremumsnorm ${\displaystyle \|\cdot \|_{\infty }}$. Eine Funktionenalgebra über ${\displaystyle X}$ ist eine Unteralgebra ${\displaystyle A\subset C(X)}$, die die konstanten Funktionen enthält und die Punkte trennt, das heißt, für zwei verschiedene Punkte ${\displaystyle x,y\in X}$ gibt es ein ${\displaystyle f\in A}$ mit ${\displaystyle f(x)\not =f(y)}$.

Ein Punkt ${\displaystyle x\in X}$ heißt Peakpunkt zu ${\displaystyle A}$, falls es eine Funktion ${\displaystyle f\in A}$ gibt, so dass

${\displaystyle \|f\|_{\infty }=|f(x)|=1}$   und   ${\displaystyle |f(y)|<1}$   für alle   ${\displaystyle y\in X\setminus \{x\}}$.

Die Menge ${\displaystyle \rho A}$ aller Peakpunkte heißt der Bishop-Rand oder der minimale Rand.[1]

Die Definition lässt sich leicht auf lokalkompakte Räume verallgemeinern. Man betrachtet dann die Banachalgebra ${\displaystyle C_{0}(X)}$ derjenigen stetigen Funktionen, die im Unendlichen verschwinden, und ersetzt die Forderung, die konstanten Funktionen zu enthalten, dadurch, dass es keinen Punkt ${\displaystyle x\in X}$ geben darf, in dem jedes ${\displaystyle f\in A}$ den Wert 0 hat. Ist schließlich ${\displaystyle A}$ eine beliebige kommutative Banachalgebra mit dem Gelfand-Raum ${\displaystyle X_{A}}$, so definiert man ${\displaystyle \rho A}$ als den Bishop-Rand der Funktionenalgebra der Gelfand-Transformierten in ${\displaystyle C_{0}(X_{A})}$. Die letzte Definition kann in konstruierten Fällen in Konflikt zur ersten geraten, denn ist eine kommutative Banachalgebra ${\displaystyle A}$ auch als eine Funktionenalgebra in einer Algebra ${\displaystyle C(X)}$ realisiert, so muss ${\displaystyle X}$ nicht notwendigerweise der Gelfand-Raum von ${\displaystyle A}$ sein.

Beispiele

• Ist ${\displaystyle X}$ kompakt und metrisierbar, so ist ${\displaystyle \rho C(X)=X}$. In diesem Fall ist der minimale Rand gleich der dafür maximal möglichen Menge.[2]
• Im Falle der Diskalgebra ${\displaystyle A(\mathbb {D} )}$ auf dem Einheitskreis ${\displaystyle \mathbb {D} }$ stimmt der Bishop-Rand mit dem topologischen Rand ${\displaystyle \partial \mathbb {D} =\{z\in \mathbb {C} \mid |z|=1\}}$ überein.[3]

X ist die Vereinigung aus Kreisscheibe und im Nullpunkt aufgesetzter Strecke

• Wir geben nun eine Funktionenalgebra an, für die der Bishop-Rand nicht abgeschlossen ist. Dazu sei

${\displaystyle X:=\mathbb {D} \cup [0,1]\cdot e_{3}\subset \mathbb {R} ^{3}}$ mit der Relativtopologie.

${\displaystyle X}$ ist ein kompakter Raum und ${\displaystyle C(X)}$ enthält die Funktionenalgebra

${\displaystyle A:=\{f\in C(X)\mid f|_{\mathrm {int} (\mathbb {D} )}{\text{ ist holomorph }}\}}$,

wobei ${\displaystyle \mathrm {int} (\mathbb {D} )}$ das Innere des Einheitskreises bezeichne. Für den Schilow-Rand ${\displaystyle \partial A}$ zeigt man

${\displaystyle \partial A=\partial \mathbb {D} \cup [0,1]\cdot e_{3}}$.

Der Bishop-Rand erweist sich als um einen Punkt kleiner

${\displaystyle \rho A=\partial \mathbb {D} \cup (0,1]\cdot e_{3}=\partial A\setminus \{(0,0,0)\}}$.

Wir zeigen dazu nur, dass ${\displaystyle 0=(0,0,0)}$ kein Peakpunkt ist und damit nicht zum Bishop-Rand gehört. Wäre nämlich 0 ein Peakpunkt, so gäbe es ein ${\displaystyle f\in A}$ mit ${\displaystyle |f(0)|=1}$ und ${\displaystyle |f(x)|<1}$ für alle anderen Punkte. Da aber ${\displaystyle f|_{\mathrm {int} (\mathbb {D} )}}$ holomorph ist, widerspricht das dem Maximumprinzip der Funktionentheorie.[4]

• Ist ${\displaystyle \Lambda }$ eine überabzählbare Menge, so ist der Produktraum ${\displaystyle X=[0,1]^{\Lambda }}$ mit der Produkttopologie nach dem Satz von Tichonow kompakt. Man kann zeigen, dass in diesem Falle überhaupt keine Peakpunkte existieren, das heißt, es ist ${\displaystyle \rho C(X)=\emptyset }$. In diesem Fall ist der Bishop-Rand also kein Rand.[5]

Charakterisierung

Für abgeschlossene Funktionenalgebren ${\displaystyle A\subset C(X)}$ können Peakpunkte topologisch anders charakterisiert werden, was dann zu einer Charakterisierung des Bishop-Randes führt. Dazu nennt man einen Punkt ${\displaystyle x\in X}$ einen starken Randpunkt, wenn es zu jeder offenen Umgebung ${\displaystyle U}$ von ${\displaystyle x}$ eine Funktion ${\displaystyle f\in A}$ gibt mit ${\displaystyle \|f\|_{\infty }=|f(x)|=1}$ und ${\displaystyle |f(y)|<1}$ für alle ${\displaystyle y\in X\setminus U}$. Mit dieser Definition gilt folgender Satz:

Ist ${\displaystyle X}$ ein kompakter Hausdorffraum und ${\displaystyle A\subset C(X)}$ eine abgeschlossene Funktionenalgebra, so sind folgende Aussagen über ${\displaystyle x\in X}$ äquivalent:[6]

• ${\displaystyle x\in \rho A}$
• ${\displaystyle x}$ ist ein starker Randpunkt und ${\displaystyle \{x\}}$ ist eine G_δ-Menge.

Damit wird nun auch das zuletzt genannte Beispiel klar, denn in ${\displaystyle X=[0,1]^{\Lambda }}$ ist bei überabzählbarem ${\displaystyle \Lambda }$ keine einpunktige Menge eine G_δ-Menge.

Beziehung zum Choquet-Rand

E. Bishop untersuchte d​en Raum d​er Peakpunkte, u​m folgenden Satz z​u zeigen:[7][8]

Ist ${\displaystyle X}$ ein kompakter Hausdorffraum und ${\displaystyle A\subset C(X)}$ eine abgeschlossene Funktionenalgebra, so stimmt der Bishop-Rand mit dem Choquet-Rand überein und ist eine G_δ-Menge.

Insbesondere i​st der Bishop-Rand i​n diesem Fall e​in Rand.

Einzelnachweise

1. Ronald Larsen: Banach Algebras, Marcel Dekker (1973), ISBN 0-8247-6078-6, Definition 9.1.3
2. Ronald Larsen: Banach Algebras, Marcel Dekker (1973), ISBN 0-8247-6078-6, Beispiel 9.3.1
3. Ronald Larsen: Banach Algebras, Marcel Dekker (1973), ISBN 0-8247-6078-6, Beispiel 9.3.1
4. Ronald Larsen: Banach Algebras, Marcel Dekker (1973), ISBN 0-8247-6078-6, Beispiel 9.3.4
5. Ronald Larsen: Banach Algebras, Marcel Dekker (1973), ISBN 0-8247-6078-6, Beispiel 9.3.5
6. Ronald Larsen: Banach Algebras, Marcel Dekker (1973), ISBN 0-8247-6078-6, Lemma 9.7.3
7. E. Bishop: A minimal boundary for function algebras, Pacific Journal of Mathematics (1959), Band 9, Seiten 629–642
8. Ronald Larsen: Banach Algebras, Marcel Dekker (1973), ISBN 0-8247-6078-6, Theorem 9.7.2