Beschränkte Variation

In d​er Analysis i​st eine Funktion v​on beschränkter Variation (beschränkter Schwankung), w​enn ihre totale Variation (totale Schwankung) endlich ist, s​ie also i​n gewisser Weise n​icht beliebig s​tark oszilliert. Diese Begriffe hängen e​ng mit d​er Stetigkeit u​nd der Integrierbarkeit v​on Funktionen zusammen.

Beispiele für Funktionen unbeschränkter Variation

Beispiele für Funktionen beschränkter Variation

Der Raum aller Funktionen von beschränkter Variation auf dem Gebiet ${\displaystyle \Omega }$ wird mit ${\displaystyle BV(\Omega )}$ bezeichnet.

Das Konzept g​eht auf Camille Jordan zurück[1][2]

Reelle Funktionen

Definition

Die totale Variation einer reellwertigen Funktion ${\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }$, die auf einem abgeschlossenen Intervall definiert ist, ist das Supremum

${\displaystyle \sup _{P}\sum _{i}|f(x_{i+1})-f(x_{i})|,}$

wobei dieses Supremum über alle möglichen Partitionen ${\displaystyle P=\{x_{1},\dotsc ,x_{n}\mid x_{1}<\dotsb <x_{n}\}}$ des Intervalls ${\displaystyle [a,b]}$ gebildet wird. Das hier angegebene ${\displaystyle n}$ hängt von ${\displaystyle P}$ ab.

Genau die stetigen Funktionen von beschränkter Variation sind Riemann-Stieltjes-integrierbar. Deshalb kann ${\displaystyle BV[a,b]}$ mit einer Halbnorm ausgestattet werden:

${\displaystyle n(f)=\sup _{\varphi }\int f\,{\frac {\mathrm {d} \varphi }{\mathrm {d} x}}}$.

Dieses Supremum wird über alle Funktionen ${\displaystyle \mathrm {\varphi } }$ mit kompaktem Träger und Funktionswerten im Intervall ${\displaystyle [-1,1]}$ gebildet.

Die Halbnorm stimmt m​it dem Supremum, d​as die beschränkte Variation definiert, überein.

Beispiel

Beispiel für unbeschränkte Variation

Ein einfaches Beispiel für eine unbeschränkte Variation ist die Funktion ${\displaystyle \textstyle y=\sin({\frac {1}{x}})}$ in der Nähe von ${\displaystyle x=0}$. Es ist anschaulich einsichtig, dass der Wert des Quotienten ${\displaystyle {\tfrac {1}{x}}}$ für ${\displaystyle x\to 0}$ mit zunehmender Annäherung an 0 immer schneller gegen ∞ anwachsen wird, und damit der Sinus dieses Werts dabei unendlich viele Schwingungen durchlaufen wird. Dies zeigt das Bild rechts.

Die Funktion

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}0,&{\text{falls }}x=0\\x\sin(1/x),&{\text{falls }}x\neq 0\end{cases}}}$

ist ebenfalls n​icht von beschränkter Schwankung i​m Intervall [0, 1], i​m Gegensatz z​ur Funktion:

${\displaystyle g(x)={\begin{cases}0,&{\text{falls }}x=0\\x^{2}\sin(1/x),&{\text{falls }}x\neq 0\end{cases}}}$.

Hier wird die Variation des Sinusterms, die für ${\displaystyle x\to 0}$ stark zunimmt, durch die zusätzliche Potenz genug gedämpft.

Erweiterungen

Diese Definition k​ann auch für komplexwertige Funktionen verwendet werden.

BV-Funktionen in mehreren Variablen

Funktionen von beschränkter Variation, oder ${\displaystyle BV}$-Funktionen, sind Funktionen, deren distributionelle Ableitungen endliche vektorwertige Radonmaße sind. Genauer:

Definition

Sei ${\displaystyle \Omega }$ eine offene Teilmenge von ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Eine Funktion ${\displaystyle u\in L^{1}(\Omega )}$ ist von beschränkter Variation oder Element von ${\displaystyle BV(\Omega )}$, wenn ihre distributionelle Ableitung ein endliches, signiertes, vektorwertiges Radonmaß ist. D. h., es existiert ${\displaystyle Du\in {\mathcal {M}}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})}$, so dass

${\displaystyle \int _{\Omega }u(x)\,\operatorname {div} {\varphi }(x)\mathrm {d} x=-\int _{\Omega }\langle \varphi ,Du(x)\rangle \qquad {\text{für alle }}{\varphi }\in C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})}$

gilt.

Zusammenhang mit rektifizierbaren Wegen

Eine stetige Funktion ${\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }$ kann auch als Weg im metrischen Raum ${\displaystyle \mathbb {R} }$ aufgefasst werden. Es gilt, dass ${\displaystyle f}$ genau dann von beschränkter Variation ist, wenn ${\displaystyle f}$ ein rektifizierbarer Weg ist, also eine endliche Länge hat.

Zusammenhang mit der Maßtheorie

In der Maßtheorie sind die reell-/komplexwertigen Funktionen von beschränkter Variation genau die Verteilungsfunktionen von signierten/komplexen Borelmaßen auf ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

Literatur

• Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 5. Auflage. Springer, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-49977-0.
• Gerald Teschl: Topics in Real and Functional Analysis. 2011 (freie Onlineversion).
• Luigi Ambrosio, Nicola Fusco and Diego Pallara: Functions of Bounded Variation and Free Discontinuity Problems. Oxford 2000.

Weblinks

• Golubov, Function of bounded variation, Encyclopedia of Mathematics, Springer

Einzelnachweise

1. Golubov, Variation of a function, Encyclopedia of Mathematics, Springer
2. Golubov, Function of boundes variation, Encyclopedia of Mathematics, Springer