Atiyah-Bott-Fixpunktsatz

Der Atiyah-Bott-Fixpunktsatz w​urde 1966 v​on Michael Atiyah u​nd Raoul Bott bewiesen u​nd verallgemeinert d​en Fixpunktsatz v​on Lefschetz für glatte Mannigfaltigkeiten.

Vorbemerkungen

Sei ${\displaystyle M}$ eine glatte, geschlossene Mannigfaltigkeit, dann ist die Lefschetz-Zahl

${\displaystyle L(f):=\sum _{i\geq 0}(-1)^{i}\mathrm {Tr} (f_{i}|H_{i}(M,\mathbb {Q} ))}$

einer stetigen Selbstabbildung ${\displaystyle f\colon M\to M}$ definiert. Mit ${\displaystyle f_{i}}$ wird die durch ${\displaystyle f}$ induzierte Abbildung ${\displaystyle f_{i}\colon H_{i}(M,\mathbb {Q} )\to H_{i}(M,\mathbb {Q} )}$ bezeichnet. Die Lefschetz-Zahl ist wohldefiniert, denn die singulären Homologien ${\displaystyle H_{i}(M,\mathbb {Q} )}$ einer glatten, kompakten Mannigfaltigkeit sind als Vektorräume endlichdimensional. Der Atiyah-Bott-Fixpunktsatz verallgemeinert diese Aussage nun auf eine Klasse von Kohomologien und gibt eine Formel zur Berechnung der Lefschetz-Zahl.

Sei ${\displaystyle (E,\mathrm {d} )}$ ein elliptischer Komplex. Das heißt, ${\displaystyle E=(\pi _{i}\colon E_{i}\to M)_{i\in \mathbb {Z} }}$ ist eine Folge glatter Vektorbündel und ${\displaystyle \mathrm {d} =(\mathrm {d} _{i}\colon \Gamma (E_{i})\to \Gamma (E_{i+1}))_{i\in \mathbb {Z} }}$ eine Folge (geometrischer) Differentialoperatoren, so dass

1. ${\displaystyle \mathrm {d} _{i+1}\circ \mathrm {d} _{i}=0}$ gilt und
2. die Sequenz ${\displaystyle \ldots \to \pi ^{*}(E_{i}){\stackrel {\sigma (\mathrm {d} _{i})}{\longrightarrow }}\pi ^{*}(E_{i+1})\to \ldots }$ exakt ist. Dabei bezeichnet ${\displaystyle \pi ^{*}(E_{i})}$ das Vektorbündel über dem Kotangentialbündel ${\displaystyle T^{*}M,}$ das durch ${\displaystyle \pi \colon T^{*}M\to M}$ induziert wird, und ${\displaystyle \sigma (\mathrm {d} _{i})}$ das Hauptsymbol von ${\displaystyle \mathrm {d} _{i}.}$

Aufgrund der ersten Eigenschaft kann man aus jedem elliptischen Komplex eine Kohomologie ${\displaystyle K}$ gewinnen und aufgrund der zweiten Eigenschaft sind die Kohomologien endlichdimensional. Sei ${\displaystyle T=(T_{i})_{i\in \mathbb {Z} }\colon (E,\mathrm {d} )\to (E,\mathrm {d} )}$ ein Kettenendomorphismus. Dieser induziert einen Endomorphismus von Kohomologien ${\displaystyle K(T)\colon K(\Gamma (E))\to K(\Gamma (E)).}$ In Analogie zur Lefschetz-Zahl definiert man

${\displaystyle L(T)\colon {=}\sum _{i\geq 0}(-1)^{i}\mathrm {Tr} (K^{i}(T)).}$

Sei ${\displaystyle f\colon M\rightarrow M}$ eine differenzierbare Funktion, deren Graph zur Diagonalen in ${\displaystyle M\times M}$ transversal ist. Die Fixpunkte von ${\displaystyle f}$ sind gerade die Schnittpunkte des Graphen mit der Diagonalen. Aus der Transversalität folgt für alle Fixpunkte ${\displaystyle x,}$ dass ${\displaystyle \det(I-Df_{x})\neq 0}$ gilt, wobei ${\displaystyle Df_{x}}$ die Ableitung von ${\displaystyle f}$ am Punkt ${\displaystyle x}$ ist. Ein Lift ${\displaystyle \phi =(\phi _{i})_{i}}$ von ${\displaystyle f}$ über einem elliptischen Komplex ist eine Folge ${\displaystyle (\phi _{i}\colon f^{*}E_{i}\to E_{i})_{i}}$ von Bündelhomomorphismen, so dass für ${\displaystyle T_{i}:=\Gamma \phi _{i}\circ f^{*}\colon \Gamma (E_{i})\to \Gamma (E_{i})}$ mit

${\displaystyle \Gamma (E_{i}){\stackrel {f^{*}}{\longrightarrow }}\Gamma (f^{*}E_{i}){\stackrel {\Gamma \phi _{i}}{\longrightarrow }}\Gamma (E_{i})}$

die Identität ${\displaystyle T_{i+1}\mathrm {d} _{i}=\mathrm {d} _{i}T_{i}}$ gilt. Insbesondere ist dann ${\displaystyle T\colon {=}(T_{i})_{i}:\Gamma (E)\to \Gamma (E)}$ ein Endomorphismus von Schnitten in dem elliptischen Komplex ${\displaystyle (E,\mathrm {d} )}$.

Atiyah-Bott-Fixpunktformel

Sei ${\displaystyle M}$ eine glatte, geschlossene Mannigfaltigkeit und ${\displaystyle f\colon M\to M}$ eine differenzierbare Abbildung, so dass ihr Graph transversal zur Diagonalen von ${\displaystyle M\times M}$ ist. Sei außerdem ${\displaystyle (E,\mathrm {d} )}$ ein elliptischer Komplex, ${\displaystyle \phi }$ ein Lift von ${\displaystyle f}$ und ${\displaystyle T:\Gamma (E)\to \Gamma (E)}$ der durch ${\displaystyle T:=\Gamma \phi \circ f^{*}}$ definierte Endomorphismus. Dann ist die Lefschetz-Zahl ${\displaystyle L(T)}$ durch

${\displaystyle L(T)=\sum _{\{x\in M|f(x)=x\}}{\frac {\sum _{i}(-1)^{i}\,\operatorname {Spur} (\phi _{i}|_{x})}{|\det(I-Df_{x})|}}}$

bestimmt, wobei ${\displaystyle \operatorname {Spur} (\phi _{j}|_{x})}$ die Spur von ${\displaystyle \phi _{j}}$ an einem Fixpunkt ${\displaystyle x}$ von ${\displaystyle f}$ meint und ${\displaystyle Df_{x}}$ die Ableitung von ${\displaystyle f}$ in ${\displaystyle x}$ ist.

Eine Anwendung d​es Atiyah-Bott-Fixpunktsatzes i​st ein einfacher Beweis d​er Weylschen Charakterformel für d​ie Darstellung v​on Liegruppen.

Spezialfall

Sei ${\displaystyle ({\mathcal {A}}(M),\mathrm {d} )}$ der De-Rham-Komplex, hierbei ist ${\displaystyle {\mathcal {A}}(M)=\Gamma (\Lambda (T^{*}M))}$ die Algebra der Differentialformen und ${\displaystyle \mathrm {d} }$ die Cartan-Ableitung. Dies ist ein elliptischer Komplex, daher kann man die Fixpunktformel auf diesen Komplex anwenden. Sei ${\displaystyle f\colon M\to M}$ wieder eine differenzierbare Abbildung, so dass ihr Graph transversal zur Diagonalen von ${\displaystyle M\times M}$ ist und ${\displaystyle \phi \colon \Lambda (T^{*}M)\to \Lambda (T^{*}M)}$ der entsprechende Lift. Dann gilt für den Index

${\displaystyle L(T)=\sum _{\{x\in M|f(x)=x\}}{\frac {\det(I-Df_{x})}{|\det(I-Df_{x})|}}.}$

Da ${\displaystyle f}$ differenzierbar ist und nur isolierte Fixpunkte hat entspricht dies der Fixpunktformel von Lefschetz.

Geschichte

Die frühe Geschichte i​st mit d​em Atiyah-Singer-Indexsatz verbunden. Im engeren Sinn entstanden d​ie ersten Ideen a​uf einer Konferenz 1964 i​n Woods Hole, Massachusetts (deshalb a​uch Woods Hole Fixpunktsatz genannt). Anscheinend stammt d​er ursprüngliche Anlass a​us einer Bemerkung v​on Martin Eichler über d​en Zusammenhang v​on Fixpunktsätzen u​nd automorphen Formen, w​as Gorō Shimura a​uf der Konferenz Raoul Bott erläuterte. Er vermutete d​ie Existenz e​ines Lefschetz-Fixpunktsatzes für holomorphe Abbildungen.

Literatur

• Michael F. Atiyah, Raoul Bott: A Lefschetz Fixed Point Formula for Elliptic Differential Operators. In: Bulletin of the American Mathematical Society. Bd. 72, Nr. 2, 1966, S. 245–250, (online).
• Michael F. Atiyah, Raoul Bott: A Lefschetz Fixed Point Formula for Elliptic Complexes: I. In: Annals of Mathematics. Series 2, Bd. 86, Nr. 2, Sept. 1967 S. 374–407, doi:10.2307/1970694.
• Michael F. Atiyah, Raoul Bott: A Lefschetz Fixed Point Formula for Elliptic Complexes: II. Applications. In: Annals of Mathematics. Series 2, Bd. 88, Nr. 3, Nov. 1968, S. 451–491, doi:10.2307/1970721, (Beweise und Anwendungen).
• Nicole Berline, Ezra Getzler, Michèle Vergne: Heat Kernels and Dirac Operators. Springer, Berlin u. a. 2004, ISBN 3-540-20062-2, Kap. 6. 2.

Weblinks

• Abschnitt in Aufsatz über Botts Werk von Tu, englisch
• Treffen zum 35.Geburtstag des Theorems in Woods Hole, englisch (Memento vom 6. Januar 2004 im Internet Archive)
• Vortrag von McPherson zur Woods Hole Konferenz, englisch (PDF-Datei; 560 kB)