Transversalität

In d​er Differentialtopologie bezeichnet Transversalität e​inen Begriff, d​er die gegenseitige Lage zweier Untermannigfaltigkeiten beschreibt. Transversalität beschreibt i​n gewissem Sinne d​as Gegenteil v​on Tangentialität u​nd stellt d​en „Normalfall“ (siehe Stabilität u​nd Transversalitätssatz) dar.

Definition

Seien ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten, mit ${\displaystyle T_{x}Y}$ wird der Tangentialraum am Punkt ${\displaystyle x\in Y}$ und mit ${\displaystyle d}$ das totale Differential bezeichnet.

• Sei weiterhin ${\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}$ eine differenzierbare Abbildung und ${\displaystyle Z\subseteq Y}$ eine Untermannigfaltigkeit. Die Abbildung ${\displaystyle f}$ heißt transversal zu ${\displaystyle Z}$, falls gilt:

${\displaystyle T_{f(x)}Y=T_{f(x)}Z+d_{x}f(T_{x}X)\quad \forall \,x\in f^{-1}(Z)}$

• Seien ${\displaystyle W,Z\subseteq Y}$ Untermannigfaltigkeiten. Die Untermannigfaltigkeit ${\displaystyle W}$ heißt transversal zu ${\displaystyle Z}$, falls gilt:

${\displaystyle T_{x}Y=T_{x}Z+T_{x}W\quad \forall \,x\in W\cap Z}$.

Dies ist äquivalent dazu, dass die natürliche Inklusionsabbildung ${\displaystyle i\colon W\hookrightarrow Y}$ transversal ist zu ${\displaystyle Z}$.

Bemerkungen

• Die Summe der Vektorräume ist im Allgemeinen keine direkte Summe.
• Transversalität von Untermannigfaltigkeiten ist eine symmetrische Relation: ${\displaystyle X{\mbox{ transversal zu }}Z\Longleftrightarrow Z{\mbox{ transversal zu }}X}$, man sagt deshalb auch „${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Z}$ schneiden sich transversal“.
• Zwei disjunkte Untermannigfaltigkeiten schneiden sich immer transversal.

Beispiele

• ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ^{2},\;t\mapsto (t,t^{2}+\varepsilon )}$ ist transversal zu ${\displaystyle \mathbb {R} \times \left\{0\right\}\subset \mathbb {R} ^{2}}$ genau dann, wenn ${\displaystyle \varepsilon \neq 0}$:
  • ${\displaystyle \varepsilon =0}$: Im einzigen Schnittpunkt ${\displaystyle (0,0)}$ stimmen die Tangentialräume überein, ihre Summe ergibt nicht den ganzen Tangentialraum von ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$.
  • ${\displaystyle \varepsilon >0}$: Kein Schnittpunkt, also transversal.
  • ${\displaystyle \varepsilon <0}$: In den (beiden) Schnittpunkten ergibt die Summe der Tangentialräume der Untermannigfaltigkeiten den ganzen Tangentialraum.
• Zwei Geraden in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ schneiden sich genau dann transversal, wenn sie nicht identisch sind.
• Zwei Geraden in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ schneiden sich genau dann transversal, wenn sie sich nicht schneiden.
• ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}\times \left\{0\right\}}$ und ${\displaystyle \left\{0\right\}\times \mathbb {R} ^{l}}$ in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ schneiden sich genau dann transversal, wenn ${\displaystyle k+l\geq n}$.

Motivation

Die ursprüngliche Motivation für die Definition der Transversalität liegt in der Frage, wann das Urbild einer Untermannigfaltigkeit ${\displaystyle Z\subseteq Y}$ unter einer differenzierbaren Abbildungen ${\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}$ wieder eine Untermannigfaltigkeit (von ${\displaystyle X}$) ist. Dies ist der Fall, wenn ${\displaystyle f}$ transversal ist zu ${\displaystyle Z}$.

Um dies zu zeigen, schreibt man ${\displaystyle Z}$ lokal als Niveaumenge einer differenzierbaren Abbildung ${\displaystyle g\colon V\rightarrow \mathbb {R} ^{l},\;V\subseteq Y{\mbox{ offen}}}$, also ${\displaystyle Z\cap V=g^{-1}(0)}$. Die zu erfüllende Bedingung lautet nun: ${\displaystyle 0}$ ist regulärer Wert von ${\displaystyle g\circ f\colon X\rightarrow \mathbb {R} ^{l}}$, das heißt, die Tangentialabbildung ${\displaystyle d_{x}(g\circ f)\colon T_{x}X\rightarrow \mathbb {R} ^{l}}$ ist surjektiv für alle ${\displaystyle x\in (g\circ f)^{-1}(0)}$. Durch elementare Umformungen zeigt man, dass diese Bedingung äquivalent ist zu ${\displaystyle T_{f(x)}Y=T_{f(x)}Z+d_{x}f(T_{x}X)\quad \forall \,x\in f^{-1}(Z)}$, was der Definition der Transversalität entspricht.

Die Umkehrung obiger Aussage trifft nicht zu. Dies sieht man wie folgt: Sei ${\displaystyle Y=S^{2}}$, ${\displaystyle X=S^{1}}$ und seien ${\displaystyle f_{i}\colon X\to Y}$ Einbettungen der ${\displaystyle S^{1}}$ in Form geschlossener Kurven, die sich an einer Stelle tangential treffen (figure-eight). Fasse ${\displaystyle \operatorname {Im} f_{1}=:Z}$ als eingebette Untermannigfaltigkeit auf. Dann ist ${\displaystyle f_{2}^{-1}(Z)=f_{2}^{-1}(\{*\})=\{*\}}$, da ${\displaystyle f_{2}}$ Einbettung.

Stabilität

Eine Eigenschaft einer differenzierbarer Abbildungen ${\displaystyle X\rightarrow Y}$ heißt stabil, wenn für jede differenzierbare Homotopie ${\displaystyle F\colon X\times [0,1]\rightarrow Y}$ gilt: Hat ${\displaystyle x\mapsto F(x,0)}$ diese Eigenschaft, dann existiert ein ${\displaystyle \varepsilon >0}$ derart, dass ${\displaystyle x\mapsto F(x,t)}$ diese Eigenschaft für alle ${\displaystyle t\in [0,\varepsilon )}$ auch besitzt.

Der Stabilitätssatz besagt, dass für differenzierbare Abbildungen ${\displaystyle X\rightarrow Y}$ die Transversalität zu einer abgeschlossenen Untermannigfaltigkeit ${\displaystyle Z\subseteq Y}$ eine stabile Eigenschaft ist, falls ${\displaystyle X}$ kompakt ist.

Weitere Sätze

Weitere wichtige Sätze i​n diesem Kontext s​ind der Transversalitätssatz u​nd der Homotopietransversalitätssatz. Sie besagen i​m Wesentlichen, d​ass zu j​eder differenzierbaren Abbildungen e​ine homotope Abbildung existiert, welche z​u einer vorgegebenen Untermannigfaltigkeit transversal i​st und d​ass transversale Homotopien a​us Familien v​on Abbildungen bestehen, welche für fast alle Parameterwerte transversal sind. Diese Sätze ermöglichen d​ie allgemeine Definition v​on Schnittzahlen m​it Hilfe v​on Homotopie, d​a sich d​iese nur für transversale Schnitte direkt definieren lassen.

Generizität

Eine Eigenschaft v​on Funktionen heißt generisch, w​enn die Menge d​er Funktionen m​it dieser Eigenschaft o​ffen und d​icht im Raum a​ller Funktionen ist.

Transversalität (zu einer gegebenen Untermannigfaltigkeit ${\displaystyle Z\subset Y}$) ist eine generische Eigenschaft differenzierbarer Abbildungen ${\displaystyle X\rightarrow Y}$: Aus der Stabilität folgt die Offenheit und aus dem Transversalitätssatz die Dichtheit der transversalen Abbildungen im Raum aller differenzierbaren Abbildungen.

Philosophie

In d​er Philosophie w​ird der Begriff d​er Transversalität v​on Wolfgang Welsch aufgegriffen.[1]

Einzelnachweise

1. W. Welsch: Vernunft. Die zeitgenössische Vernunftkritik und das Konzept der transversalen Vernunft. Frankfurt a. M. 1995.

Literatur

• Victor Guillemin, Alan Pollack: Differential topology. Prentice-Hall, Englewood Cliffs NJ 1974, ISBN 0-13-212605-2.
• Theodor Bröcker, Tammo tom Dieck: Kobordismentheorie, Lecture Notes in Mathematics 178, Springer Verlag (1970).